Nullstellen im Komplexen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Calculu |
Hallo.
Ich habe Probleme bei ein einer Aufgabe die ich in einem Buch gefunden habe. Und zwar soll man die Nullstellen folgender Funktion finden: [mm] 1+t^{8}
[/mm]
Anschaulich ist mir klar was passiert, also ich suche eine komplexe Zahl, deren Länge ich 8mal Multipliziere und es kommt 1 raus und deren Winkel ich 8mal addiere und es kommt 180grad raus. Im Buch steht bei der Lösung nun folgende Formel: [mm] z_{k}= e^{i* \bruch{\pi+2*\pi*k}{8}}
[/mm]
Mir ist nicht klar wie diese Formel zustande kommt und wie sie verallgemeinert aussieht.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Viele Grüße.
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Hallo,
> Hallo.
> Ich habe Probleme bei ein einer Aufgabe die ich in einem
> Buch gefunden habe. Und zwar soll man die Nullstellen
> folgender Funktion finden: [mm]1+t^{8}[/mm]
> Anschaulich ist mir klar was passiert, also ich suche eine
> komplexe Zahl, deren Länge ich 8mal Multipliziere und es
> kommt 1 raus und deren Winkel ich 8mal addiere und es kommt
> 180grad raus. Im Buch steht bei der Lösung nun folgende
> Formel: [mm]z_{k}= e^{i* \bruch{\pi+2*\pi*k}{8}}[/mm]
> Mir ist nicht
> klar wie diese Formel zustande kommt und wie sie
> verallgemeinert aussieht.
Mir ist nicht klar..., was soll man da jetzt darunter verstehen? Was ist dir nicht klar, die Verwendung der Variablen k oder die Darstellung von komplexen Zahlen als Potenz von e?
Letzteres nennt man die Eulersche Darstellung. Das kann man hier sicherlich nicht erschöpfend behandeln, jedenfall gilt die Identität
[mm]e^{i*x}=cos(x)+i*sin(x) ; x\in\IC[/mm]
Bei dem k hast du etwas vergessen: da muss so etwas wie
[mm] k\in\{0;1;2;3;4;5;6;7\}
[/mm]
dabei stehen. Dies dient dazu, die 8 Lösungen zu erzeugen, die sich in gleichen Abständen auf dem Kreis mit dem Radius r=1/8 um die Null in der Gauß'schen Ebene befinden.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Calculu |
> Hallo,
>
> > Hallo.
> > Ich habe Probleme bei ein einer Aufgabe die ich in
> einem
> > Buch gefunden habe. Und zwar soll man die Nullstellen
> > folgender Funktion finden: [mm]1+t^{8}[/mm]
> > Anschaulich ist mir klar was passiert, also ich suche
> eine
> > komplexe Zahl, deren Länge ich 8mal Multipliziere und
> es
> > kommt 1 raus und deren Winkel ich 8mal addiere und es
> kommt
> > 180grad raus. Im Buch steht bei der Lösung nun
> folgende
> > Formel: [mm]z_{k}= e^{i* \bruch{\pi+2*\pi*k}{8}}[/mm]
> > Mir ist
> nicht
> > klar wie diese Formel zustande kommt und wie sie
> > verallgemeinert aussieht.
>
> Mir ist nicht klar..., was soll man da jetzt darunter
> verstehen?
Nun, darunter soll man verstehen, dass mir nicht klar ist, wie diese Formel zustande kommt. Genau so wie ich es oben geschrieben habe.
Was ist dir nicht klar, die Verwendung der
> Variablen k oder die Darstellung von komplexen Zahlen
> als Potenz von e?
>
> Letzteres nennt man die Eulersche Darstellung.
Das ist mir bekannt.
> hier sicherlich nicht erschöpfend behandeln, jedenfall
> gilt die Identität
>
> [mm]e^{i*x}=cos(x)+i*sin(x) ; x\in\IC[/mm]
>
> Bei dem k hast du etwas vergessen: da muss so etwas wie
>
> [mm]k\in\{0;1;2;3;4;5;6;7\}[/mm]
Ja, das habe ich vergessen, sorry dafür.
> dabei stehen. Dies dient dazu, die 8 Lösungen zu erzeugen,
> die sich in gleichen Abständen auf dem Kreis mit dem
> Radius r=1/8 um die Null in der Gauß'schen Ebene
> befinden.
Wie lautet denn die Formel allgemein? Oder wie kann ich zum Beispiel folgendes berechnen: [mm] 2+3i+t^{3}=0 [/mm] ?
>
> Gruß, Diophant
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Hallo,
> > Mir ist nicht klar..., was soll man da jetzt darunter
> > verstehen?
> Nun, darunter soll man verstehen, dass mir nicht klar ist,
> wie diese Formel zustande kommt. Genau so wie ich es oben
> geschrieben habe.
Meine Kristallkugel ist gerade zur Reparatur, wegen Überstrapazierung. Daher kann ich dieser Formulierung keinerlei eindeutige Problembeschreibung entnhemen, insbesondere nicht, was du eigentlich wissen möchtest.
> Was ist dir nicht klar, die Verwendung der
> > Variablen k oder die Darstellung von komplexen Zahlen
> > als Potenz von e?
> >
> > Letzteres nennt man die Eulersche Darstellung.
> Das ist mir bekannt.
>
Warum steht das dann nicht in deiner Ausgangsfrage, woher sollen wir denn wissen, was jetzt dir bekannt ist und was nicht???
>
> > hier sicherlich nicht erschöpfend behandeln, jedenfall
> > gilt die Identität
> >
> > [mm]e^{i*x}=cos(x)+i*sin(x) ; x\in\IC[/mm]
> >
> > Bei dem k hast du etwas vergessen: da muss so etwas wie
> >
> > [mm]k\in\{0;1;2;3;4;5;6;7\}[/mm]
> Ja, das habe ich vergessen, sorry dafür.
Ok, dann wäre das geklärt.
> > dabei stehen. Dies dient dazu, die 8 Lösungen zu erzeugen,
> > die sich in gleichen Abständen auf dem Kreis mit dem
> > Radius r=1/8 um die Null in der Gauß'schen Ebene
> > befinden.
>
> Wie lautet denn die Formel allgemein? Oder wie kann ich zum
> Beispiel folgendes berechnen: [mm]2+3i+t^{3}=0[/mm] ?
> >
Was heißt die Formel allgemein? Es gelten natürlich die gleichen Gesetzmäßigkeiten was die Lösbarkeit von Gleichungen angeht wie im Reellen!
Dein Beispiel lässt sich umformen zu
[mm] t^3=-2-3i
[/mm]
also kann man hier wieder direkt mit einer Wurzel arbeiten. Und die Formel, um die Werte der komplexen Wurzelfunktion zu berechnen hast du doch oben dastehen?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Calculu |
> Hallo,
>
> > > Mir ist nicht klar..., was soll man da jetzt darunter
> > > verstehen?
> > Nun, darunter soll man verstehen, dass mir nicht klar
> ist,
> > wie diese Formel zustande kommt. Genau so wie ich es
> oben
> > geschrieben habe.
>
> Meine Kristallkugel ist gerade zur Reparatur, wegen
> Überstrapazierung. Daher kann ich dieser Formulierung
> keinerlei eindeutige Problembeschreibung entnhemen,
> insbesondere nicht, was du eigentlich wissen möchtest.
>
> > Was ist dir nicht klar, die Verwendung der
> > > Variablen k oder die Darstellung von komplexen Zahlen
> > > als Potenz von e?
> > >
> > > Letzteres nennt man die Eulersche Darstellung.
> > Das ist mir bekannt.
> >
>
> Warum steht das dann nicht in deiner Ausgangsfrage, woher
> sollen wir denn wissen, was jetzt dir bekannt ist und was
> nicht???
>
> >
> > > hier sicherlich nicht erschöpfend behandeln,
> jedenfall
> > > gilt die Identität
> > >
> > > [mm]e^{i*x}=cos(x)+i*sin(x) ; x\in\IC[/mm]
> > >
> > > Bei dem k hast du etwas vergessen: da muss so etwas
> wie
> > >
> > > [mm]k\in\{0;1;2;3;4;5;6;7\}[/mm]
> > Ja, das habe ich vergessen, sorry dafür.
>
> Ok, dann wäre das geklärt.
>
> > > dabei stehen. Dies dient dazu, die 8 Lösungen zu
> erzeugen,
> > > die sich in gleichen Abständen auf dem Kreis mit dem
> > > Radius r=1/8 um die Null in der Gauß'schen Ebene
> > > befinden.
> >
> > Wie lautet denn die Formel allgemein? Oder wie kann ich
> zum
> > Beispiel folgendes berechnen: [mm]2+3i+t^{3}=0[/mm] ?
> > >
>
> Was heißt die Formel allgemein? Es gelten natürlich die
> gleichen Gesetzmäßigkeiten was die Lösbarkeit von
> Gleichungen angeht wie im Reellen!
>
> Dein Beispiel lässt sich umformen zu
>
> [mm]t^3=-2-3i[/mm]
>
Ich beziehe mich nun nur noch auf das Fachliche. Auseinandersetzungen anderer Art sind mir ohnehin zuwider und erst recht im Internet.
> also kann man hier wieder direkt mit einer Wurzel arbeiten.
> Und die Formel, um die Werte der komplexen Wurzelfunktion
> zu berechnen hast du doch oben dastehen?
Eben das ist es was ich nich verstehe. Ansonsten wäre der gesamte Thread sinnlos. Über Hilfe hierbei würde ich mich sehr freuen.
>
> Gruß, Diophant
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Hallo,
> Ich beziehe mich nun nur noch auf das Fachliche.
> Auseinandersetzungen anderer Art sind mir ohnehin zuwider
> und erst recht im Internet.
Es geht doch nicht um eine Auseinandersetzung. Es geht mir einzig und alleine darum, ein Bewusstsein dafür zu schaffen, dass präzise Fragen präzise Antworten ermöglichen. Und bei deiner ursprünglichen Frage kann man beim besten Willen nicht sehen, wo genau du 'aussteigst' also was genau unklar ist. Es muss in einem solchen Forum möglich sein, Präzision bei der Formulierung von Fragen einzufordern!
>
> > also kann man hier wieder direkt mit einer Wurzel arbeiten.
> > Und die Formel, um die Werte der komplexen Wurzelfunktion
> > zu berechnen hast du doch oben dastehen?
>
> Eben das ist es was ich nich verstehe. Ansonsten wäre der
> gesamte Thread sinnlos. Über Hilfe hierbei würde ich mich
> sehr freuen.
Was verstehst du nicht? Die Formel? Dann rechne sie nach, vielleicht an Hand eines exemplarischen Wertes für k. Die Sache ist ganz einfach die, dass die Wurzelfunktion im Komplexen mehrdeutig ist, sie hat sog. Zweige. Für jeden Wert von k bekommst du den Wert eines dieser Zweige zurück. Vielleicht hilft es dir weiter, dass die Funktion
[mm] z\mapsto e^{i*z}
[/mm]
für reelle z den Einheitskreis in der Gauß'schen Ebene beschreibt? Es dürfte ja klar sein, dass allen diesen Wurzeln der Betrag gemeinsam sein muss. Also müssen sie auf einem Kreis liegen, dass macht, sagen wir es so, die oben angeführte Formel anschaulicher.
Und deine ursprüngliche Gleichung
[mm] 1+t^8=0
[/mm]
hat eben acht unterschiedliche Lösungen, die man bekommt, in dem man die ganzzahligen Werte von 0 bis 7 für k in die Formel einsetzt.
Natürlich gibt es auch andere Wege, diese Lösungen zu bekommen. Aber das hattest du nicht nachgefragt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Calculu |
Ok, es ist mir jetzt klar geworden. Für k=0 betrachte ich einfach den vom Zeiger aufgezogenen Winkel durch die Vielfachheit der Nullstelle und dann wird jeweils der Winkel 360grad/ Vielfachheit hinzu addiert. Dies nur zur Erklärung falls eine weitere Person auf den Thread stößt.
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