Nullstellen im n-Polynom < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Mi 08.04.2009 | | Autor: | msg08 |
Hi,
ich kann mir leider nicht weiterhelfen. Würde nur zu gerne wissen, wieso bei einem Polynom n-ten Grades maximal n Nullstellen auftreten können.
Also ab n>2 hab ich keine Ahnung wie ich es verstehen soll.
Vielen Dank, sollte sich jemand die Mühe machen wollen.
LG
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Mi 08.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Induktion:
Ind. - Anfang: n= 1 ist klar
Ind. -Vor: sei n [mm] \in \IN [/mm] und jedes Polynom vom Grad n hat max. n Nullstellen.
n [mm] \to [/mm] n+1:
Sei q ein Polynom vom Grad n+1. Annahme: q hat mindestens n+2 Nullstellen. Nach dem Satz von Rolle hat dann p:=q' mindestens n+1 Nullstellen. Das widerspricht aber der Ind. Vor.
FREED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Mi 08.04.2009 | | Autor: | msg08 |
Wieso argumentierst du mit dem Satz von Rolle.
Also er besagt ja soweit, dass es bei einer Funktion mit 2 Nullstellen einen Punkt des Graphen mit der Steigung 0 gibt.
Bitte um eine etwas umfassendere Erläuterung.
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> Wieso argumentierst du mit dem Satz von Rolle.
Hallo,
ich denke, Fred tut das, weil es funktioniert.
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> Also er besagt ja soweit, dass es bei einer Funktion mit 2
> Nullstellen einen Punkt des Graphen mit der Steigung 0
> gibt.
Der Satz von Rolle sagt, daß es (bei passenden Voraussetzungen) zwischen zwei Nullstellen immer einen Punkt gibt, an dem die Steigung =0 ist.
>
> Bitte um eine etwas umfassendere Erläuterung.
Wenn Du doch erklärt hättest, was Du nicht verstehst...
Daß eine Induktion gemacht wird, dürfte klar sein. Steht ja auch dabei.
Im Induktionsschritt nimmt Fred nun an, daß es ein Polynom q vom Grad n+1 gibt, welches n+2 Nullstellen hat.
Der Satz von Rolle sagt nun, daß jeweils zwischen diesen Nullstellen eine Stelle mit Steigung=0 gibt, also insgesamt n+1 solcher Stellen.
Somit hat die Ableitung von q n+1 Nullstellen.
Die Ableitung von q ist aber ein Polynom vom Grad n, womit man einen Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung hat.
Ist es jetzt klarer? Eigentlich habe ich nämlich nur wiederholt, was bereits dastand.
Wenn Du es jetzt auch nicht verstehst, frag bitte konketer nach.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:50 Do 09.04.2009 | | Autor: | msg08 |
Hey danke, jetzt kann ich besser nachvollziehen welche Idee in dieser Argumentation steckt. Nur möchte ich eben verstehen, wieso es eben maximal n Nullstellen gibt. Hier wird also schon mit was gearbeitet, was ich noch nicht richtig verstehe, wobei raffiniert so. Weil der Induktionsschritt mit der Behauptung es gebe n+1 Nullstellen ja nicht greift.
Wieso es nach Rolle n+1 Nullstellen gebe is klar nur wieso in echt n.
Vielen Dank soweit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:54 Do 09.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hey danke, jetzt kann ich besser nachvollziehen welche Idee
> in dieser Argumentation steckt. Nur möchte ich eben
> verstehen, wieso es eben maximal n Nullstellen gibt. Hier
> wird also schon mit was gearbeitet, was ich noch nicht
> richtig verstehe, wobei raffiniert so.
> Weil der
> Induktionsschritt mit der Behauptung es gebe n+1
> Nullstellen ja nicht greift.
?????????????????????????????
>
> Wieso es nach Rolle n+1 Nullstellen gebe is klar nur wieso
> in echt n.
???????????????????????????????
Könntest Du Dich bitte so ausdrücken, dass man versteht von was Du sprichst ?
FRED
>
> Vielen Dank soweit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Do 09.04.2009 | | Autor: | msg08 |
Alles klar. Sorry für den umständlichen soweit.
Einfach, will nicht verstehen, wieso wenn man weiss dass es nach Rolle bei n+1 Nullstellen n Punkte im Graphen mit Steigung 0 gibt, ergo bei der Ableitung eben n Nullstellen.
Sondern wieso ein Polynom vom Grad n eben maximal n Nullstellen hat.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Do 09.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Alles klar. Sorry für den umständlichen soweit.
>
> Einfach, will nicht verstehen, wieso wenn man weiss dass es
> nach Rolle bei n+1 Nullstellen n Punkte im Graphen mit
> Steigung 0 gibt, ergo bei der Ableitung eben n
> Nullstellen.
>
> Sondern wieso ein Polynom vom Grad n eben maximal n
> Nullstellen hat.
Das habe ich Dir doch oben bewiesen !
Nimm an, eine differenzierbare Funktion $f$ habe die Nullstellen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] mit [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2. [/mm] Rolle sagt: es gibt ein t mit: [mm] x_1
FRED
>
> ??????
>
> ??????
>
> ??????
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:54 Fr 10.04.2009 | | Autor: | msg08 |
Hey danke, also soweit verstehe ich wieso es maximal n Nullstellen gibt.
Es ist genial, tatsächlich, war mir anfangs so gar nicht klar.
Schön fände ich aber noch einen anschaulichen Weg zum Verständnis.
Würde mich freuen, hätte jemand noch eine Idee.
Sonst soweit danke, echt cool, war mir erst gar nicht so bewusst.
Also soweit geht man ja von einer Voraussetzung inklusive Nullstellen aus.
Was mich aber brennend interessiert, wieso gibt es maximal n Nullstellen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:46 Fr 10.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du drueckst dich eigenartig aus. folgendes ist kein richtiger Beweis, aber vielleicht das, was du anschaulich nennst.
wenn ein pol. n Nullstellen [mm] x_1...x_n [/mm] hat dann kann ich auch schreiben: [mm] p=A*(x-x_1)*(x-x_2)*.....*(x-x_n) [/mm] das hat zweifellos den grad n.
wenn du noch ne nullstelle haettest kaem noch ein faktor [mm] (x-x_{n+1}) [/mm] dazu und du haettest n=1 ten Grad.
Ist das jetzt anschaulich?
Das ander kann man sich eigentlich auch vorstellen. zwischen je 2 Nst. muss doch ein Max oder ein Min liegen. dass ein Polynom abgeleitet ein polynom von einem grad kleiner ist, ist auch klar, also muesste das eine Nullstelle weniger haben. das machst du weiter, bis du bei einem Polynom 1. ten Grades bist, und das musste denn 2 Nst haben, wenn das nten grades n+1 hatte. das immer weiter machen nennt man eben Induktion.
Widerspruchsbeweise sind immer unanschaulich und deshalb fuer manche leute unbefriedigend. damit musst du dich abfinden.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:57 Fr 10.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hey danke, also soweit verstehe ich wieso es maximal n
> Nullstellen gibt.
Na also
>
> Es ist genial, tatsächlich, war mir anfangs so gar nicht
> klar.
mir kommen Zweifel
>
> Schön fände ich aber noch einen anschaulichen Weg zum
> Verständnis.
>
> Würde mich freuen, hätte jemand noch eine Idee.
>
> Sonst soweit danke, echt cool, war mir erst gar nicht so
> bewusst.
Das hatten wir schon
>
> Also soweit geht man ja von einer Voraussetzung inklusive
> Nullstellen aus.
Das tut niemand
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> Was mich aber brennend interessiert, wieso gibt es maximal
> n Nullstellen.
Jetzt reichts. Willst Du mioch verarschen ?
FRED
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> Hey danke, also soweit verstehe ich wieso es maximal n
> Nullstellen gibt.
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> Es ist genial, tatsächlich, war mir anfangs so gar nicht
> klar.
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> Schön fände ich aber noch einen anschaulichen Weg zum
> Verständnis.
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> Würde mich freuen, hätte jemand noch eine Idee.
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> Sonst soweit danke, echt cool, war mir erst gar nicht so
> bewusst.
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> Also soweit geht man ja von einer Voraussetzung inklusive
> Nullstellen aus.
>
> Was mich aber brennend interessiert, wieso gibt es maximal
> n Nullstellen.
Hallo,
Du sprichst in Rätseln.
Mir wird es nach der wiederholten Lektüre des Posts immer noch nicht klar, ob Du den Beweis verstanden hast oder nicht.
Zum "Abschaulichen" hat leduart ja schon was gesagt.
Mir keimt - Deine vorhergehenden Posts einbeziehend - immer mehr der Verdacht, daß Du Induktion als solche überhaupt nicht verstehst.
Könnte hier Dein Problem liegen?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:26 Do 09.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wieso argumentierst du mit dem Satz von Rolle.
Warum nicht ?
Einen Beweis, der mit nichts argumentiert, den gibts nicht
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 So 19.04.2009 | | Autor: | msg08 |
Naja ich setze halt schon was voraus.
Möchte aber direkt bei total null ausgehen und begründen.
Also das ist für mich ein Rätsel und ausklammern macht nix deutlich.
Sonst bedanke ich mich soweit für eure Antworten.
Rollen kann man halt nur mit was gegeben ist.
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