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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 So 22.06.2008 | | Autor: | svcds |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle reellen Nullstellen der folgenden Polynome exakt, also nicht mit Nähe-
rungsmethoden. Funktion ist [mm] 6x^4 [/mm] + [mm] 19x^3 [/mm] - [mm] 87x^2 [/mm] - 69x - 9. Benutzen Sie dabei unbedingt das Hornerschema und keinesfalls die p-q-Formel. |
Hi,
also ich habe durch das Hornerschema +3 als Nullstelle herausbekommen.
Dann bleibt noch [mm] 6x^3+ [/mm] 37 [mm] x^2 [/mm] + 24 x - 3 übrig.
Wie bekomm ich dann mit dem Hornerschema die anderen(reellen) Nullstellen?
Die Formel von Cardano usw. will ich nicht.
Ich möchte das mit dem Hornerschema lösen.
Wie mach ich das?
mfg
Knut
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Du musst erstmal durch raten eine Nullstelle finden. (x=3 klappt).
Hier findest du ne Anleitung für das Schema:
![[]](/images/popup.gif) Das Horner - Schema
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 So 22.06.2008 | | Autor: | svcds |
da kommen aber 3 reelle Nullstellen raus -0,10..... usw. Die Zeichnung ist doch nur für nicht reelle Nullstellen
> Du musst erstmal durch raten eine Nullstelle finden. (x=3
> klappt).
>
> Hier findest du ne Anleitung für das Schema:
>
> Das Horner - Schema
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Mo 23.06.2008 | | Autor: | svcds |
keiner ne idee?
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hallo Knut,
kannst du mit dem Beispiel, das Jan angegeben hat, etwas anfangen?
dort liegt eine Funktion 4.Grades (wie deine) vor, die eine erste
einfache Lösung [mm] x_1=1 [/mm] hat. Unter dem ersten Querstrich im Schema
erscheinen dann die Koeffizienten des Polynoms 3.Grades, das bei
der Division [mm] f(x)/(x-x_1) [/mm] entsteht; man liest ab:
[mm] (x^4-4x^3-6x^2+4x+5)/(x-1)=x^3-3x^2-9x-5
[/mm]
Hinten, durch das Kästchen abgetrennt, steht der Funktionswert
[mm] f(x_1)=0, [/mm] welcher bestätigt, dass [mm] x_1=1 [/mm] tatsächlich eine
Nullstelle war.
Die weiteren Nullstellen müssen nun Lösungen des verbliebenen
kubischen Polynoms sein. Man sucht, ob es vielleicht noch eine
ganzzahlige gibt und wiederholt dann die Horner-Methode !
Was du mit der Bemerkung
"da kommen aber 3 reelle Nullstellen raus -0,10..... usw. Die Zeichnung ist doch nur für nicht reelle Nullstellen" gemeint hast, habe ich nicht geschnallt...
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mo 23.06.2008 | | Autor: | svcds |
also mein pc programm hat da reelle nullstellen rausgekriegt das will ich damit sagen.
also kann ich das horner schema NUR für ganzzahlige lösungen benutzen?
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> also mein pc programm hat da reelle nullstellen
> rausgekriegt das will ich damit sagen.
>
> also kann ich das horner schema NUR für ganzzahlige
> lösungen benutzen?
1.) ganze Zahlen gehören auch zu den reellen Zahlen !
2.) das Hornerschema funktioniert für beliebige Zahlen,
ist für die Handrechnung allerdings nur für ganze
Zahlen oder einfache Brüche praktikabel
3.) wenn man eine Polynomgleichung z.B. dritten oder
vierten Grades "von Hand" (oder "zu Fuss" oder halt
einfach mit einem normal ausgestatteten Kopf)
lösen will, hat man eben fast nur eine Chance,
wenn es mindestens eine einfach (ohne technische
Hilfsmittel) aufzufindende Lösung gibt. Aus diesem
Grund kommen in Schulbüchern solche Beispiele
vor, bei denen am Schluss höchstens noch eine
quadratische Gleichung übrig bleibt, die man mit
der entsprechenden Lösungsformel bewältigen kann,
falls einem die noch geläufig ist.
4.) Ich habe dein erstes Zwischenergebnis angeschaut.
Du hast wohl etwas falsch abgeschrieben oder einen
Rechenfehler gemacht. Kontrolliere die erste Polynom-
division ! Die gegebene Gleichung hat
eine ganzzahlige Lösung [mm] (x_1=3), [/mm] eine zweite
Lösung [mm] x_2=-1/6 [/mm] und dann noch 2 weitere, welche
Wurzeln enthalten.
Ich weiss ja nicht, ob ev. doch Cardano gemeint
war, um die zweite Nullstelle zu finden. Es wäre aber
ein echter Witz, Cardano zu bemühen und die einfache
Vieta-Formel zu verbieten.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mo 23.06.2008 | | Autor: | svcds |
>
> 1.) ganze Zahlen gehören auch zu den reellen Zahlen !
>
> 2.) das Hornerschema funktioniert für beliebige Zahlen,
> ist für die Handrechnung allerdings nur für ganze
> Zahlen oder einfache Brüche praktikabel
>
> 3.) wenn man eine Polynomgleichung z.B. dritten oder
> vierten Grades "von Hand" (oder "zu Fuss" oder halt
> einfach mit einem normal ausgestatteten Kopf)
> lösen will, hat man eben fast nur eine Chance,
> wenn es mindestens eine einfach (ohne technische
> Hilfsmittel) aufzufindende Lösung gibt. Aus diesem
> Grund kommen in Schulbüchern solche Beispiele
> vor, bei denen am Schluss höchstens noch eine
> quadratische Gleichung übrig bleibt, die man mit
> der entsprechenden Lösungsformel bewältigen kann,
> falls einem die noch geläufig ist.
>
> 4.) Ich habe dein erstes Zwischenergebnis angeschaut.
> Du hast wohl etwas falsch abgeschrieben oder einen
> Rechenfehler gemacht. Kontrolliere die erste
> Polynom-
> division ! Die gegebene Gleichung hat
> eine ganzzahlige Lösung [mm](x_1=3),[/mm] eine zweite
> Lösung [mm]x_2=-1/6[/mm] und dann noch 2 weitere, welche
> Wurzeln enthalten.
> Ich weiss ja nicht, ob ev. doch Cardano gemeint
> war, um die zweite Nullstelle zu finden. Es wäre
> aber
> ein echter Witz, Cardano zu bemühen und die einfache
> Vieta-Formel zu verbieten.
>
> 5.) Wie man bei deinem Beispiel alle Nullstellen
> in Handrechnung, ohne Cardano und ohne p-q-
> oder a-b-c-Formel berechnen soll, ist mir
> schleierhaft.
>
> LG
>
>
>
also unser Prof hat das nur in seinem kurzskript gemacht, dann rechne ich nochmal nach, wenn [mm] x_1=3 [/mm] richtig ist... wie ich auf die -1/6 kommen soll ist mir ein RÄtsel
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> also unser Prof hat das nur in seinem kurzskript gemacht,
> dann rechne ich nochmal nach, wenn [mm]x_1=3[/mm] richtig ist...
x=3 ist richtig
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo svcds,
> also unser Prof hat das nur in seinem kurzskript gemacht,
> dann rechne ich nochmal nach, wenn [mm]x_1=3[/mm] richtig ist... wie
> ich auf die -1/6 kommen soll ist mir ein RÄtsel
du hattest ja bereits nach der Division durch $x-3$ dieses Polynom erhalten:
$ [mm] 6x^3+ [/mm] 37 [mm] x^2 [/mm] + 24 x - 3$
Nun schaust du dir die Teiler von 3 und 6 an:
[mm] $T_3=\{1,3\}$
[/mm]
[mm] $T_6=\{1,2,3,6\}$
[/mm]
und bildest nun alle Brüche, deren Zähler aus der Menge [mm] $T_3$ [/mm] und deren Nenner aus [mm] $T_6$ [/mm] stammt:
[mm] $\bruch11,\bruch12,\bruch13,\bruch16,$
[/mm]
[mm] $\bruch31,\bruch32,\bruch33,\bruch36$
[/mm]
Nach vollständigem Kürzen bleiben übrig:
[mm] $1,\bruch12,\bruch13,\bruch16,3,\bruch32$
[/mm]
Gegenzahlen nicht vergessen:
[mm] $-1,-\bruch12,-\bruch13,-\bruch16,-3,-\bruch32$
[/mm]
Falls es eine rationale Nullstelle gibt, ist sie also unter diesen 10 Kandidaten zu finden.
Die beiden übrigen Nullstellen kannst du mit quadratischer Ergänzung finden, die etwas unglückliche Formulierung der Aufgabe lässt dieses Verfahren ja durchaus zu.
(Jedenfalls wurde es so in der Übung gemacht -- besuchst du die nicht?  )
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Mo 23.06.2008 | | Autor: | svcds |
die Übung besuche ich aber diese Übung wurde verlegt :( da war ichnicht da
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Mo 23.06.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo Marc,
> > also unser Prof hat das nur in seinem kurzskript gemacht,
> > dann rechne ich nochmal nach, wenn [mm]x_1=3[/mm] richtig ist... wie
> > ich auf die -1/6 kommen soll ist mir ein RÄtsel
>
> du hattest ja bereits nach der Division durch [mm]x-3[/mm] dieses
> Polynom erhalten:
>
> [mm]6x^3+ 37 x^2 + 24 x - 3[/mm]
>
> Nun schaust du dir die Teiler von 3 und 6 an:
wieso die Teiler von 6 ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") vielleicht, weil [mm] a_3=6 [/mm] ist??? Wenn nun in einer anderen Aufgabe z.B. [mm] a_3 [/mm] eine Primzahl wäre, ginge das dann auch (unter der Voraussetzung, dass die 6 damit überhaupt was zu tun hat).
Danke und Gruß
Smarty
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Hallo, vor [mm] x^{3} [/mm] steht doch der Faktor 6, somit die Teiler von 6, eine Primzahl hat doch als Teiler nur die 1 und sich selbst, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Mo 23.06.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo Steffi,
und schon mal danke für die Antwort. Ich muss da jetzt aber trotzdem nochmal fragen, warum die Teiler von 6 berücksichtigt werden müssen. Wenn ich das Polynom auf [mm] a_3=1 [/mm] normiere, dann teile ich ja durch den Koeffizienten, in unserem Fall durch 6. Schaue ich mir anschließend das Absolutglied an, dann steht dort die 6 im Nenner - warum also die Teiler von 6, wenn doch die 6 selbst schon "Teiler" ist?
Gruß
Smarty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Di 24.06.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo Martinius,
vielen Dank für den Link. Das mit dem Teiler von [mm] a_n [/mm] kannte ich noch nicht, aber nun ist es klar 
Schönen Abend
Smarty
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Di 24.06.2008 | | Autor: | svcds |
hast du nicht in deiner Aufzählung 1/3 vergessen!?
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> hast du nicht in deiner Aufzählung 1/3 vergessen!?
ja, das scheint Marc übersehen zu haben.
Für mich hat aber sein Beitrag ein Lichtlein angezündet.
Ich kannte bisher den Trick für das Aufsuchen von
einfachen Lösungen (bei Polynomen mit Koeffizienten
aus [mm] \IZ) [/mm] nur für ganzzahlige Lösungen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Di 24.06.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo svcds,
> hast du nicht in deiner Aufzählung 1/3 vergessen!?
Jo, vielen Dank, habe ich korrigiert!
Viele Grüße,
Marc
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![[]](http://haftendorn.uni-lueneburg.de/analysis/polynome/hornerschema-hand.gif){kind=small}
Das Horner - Schema![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
