Nullstellen von - Parabeln < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Punkte P1 (-2/-7) und P2 (3/-2) liegen auf der nach unten geöffneten Parabel P1. Eine weitere, ebenfalls nach unten geöffnete Parabel hat den Scheitelpunkt S2 (-2/-1).
a) Stellen Sie die Funktionsgleichungen von P1 und P2 in Normalform auf.
b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts T der beiden Parabeln.
c) Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts S1 von p1.
d) Ermitteln Sie rechnerisch die Schnittstellen von p1 mit der x-Achse.
e) Zeichnen Sie beide Parabeln in ein Koordinatensystem. |
a) Rechnung zu lang, daher nur die Ergebnisse die ich errechnet habe:
p1: y=-x²+2x+1
p2: y=-x²-4x-5
b) T (-1/-2)
c) y=-(x+1)² -> S1 (-1/0)
d) Dort habe ich nun ein Problem. Ich setze die Funktionsgleich von p1 gleich 0. Demnach: "0=-x²+2x+1".
0=-x²+2x+1
Kann ich nun alles mal -1 nehmen, damit das - vor dem x verschwindet?
0=x²-2x-1
0=x²-2x+1²-1²-1
0=(x-1)²-2
oder
0=-x²+2x-1
0=-x²+2x+1²-1²+1
0=-(x+1)²
Welcher Ansatz von den beiden ist denn richtig?
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> Die Punkte P1 (-2/-7) und P2 (3/-2) liegen auf der nach
> unten geöffneten Parabel P1. Eine weitere, ebenfalls nach
> unten geöffnete Parabel hat den Scheitelpunkt S2 (-2/-1).
>
> a) Stellen Sie die Funktionsgleichungen von P1 und P2 in
> Normalform auf.
> b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts T der
> beiden Parabeln.
> c) Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts S1 von
> p1.
> d) Ermitteln Sie rechnerisch die Schnittstellen von p1 mit
> der x-Achse.
> e) Zeichnen Sie beide Parabeln in ein Koordinatensystem.
>
> a) Rechnung zu lang, daher nur die Ergebnisse die ich
> errechnet habe:
>
> p1: y=-x²+2x+1
> p2: y=-x²-4x-5
>
> b) T (-1/-2)
>
> c) y=-(x+1)² -> S1 (-1/0)
Hallo,
die Ergebnisse von a)-c) habe ich nicht kontrolliert.
>
> d) Dort habe ich nun ein Problem. Ich setze die
> Funktionsgleich von p1 gleich 0. Demnach: "0=-x²+2x+1".
>
> 0=-x²+2x+1
> Kann ich nun alles mal -1 nehmen, damit das - vor dem x
> verschwindet?
Ja.
>
> 0=x²-2x-1
> 0=x²-2x+1²-1²-1
> 0=(x-1)²-2
Richtig.
Nun nach x auflösen.
>
> oder
>
> 0=-x²+2x+1
> 0=-x²+2x+1²-1²+1
> 0=-(x+1)²
>
> Welcher Ansatz von den beiden ist denn richtig?
Der erste Ansatz.
Im zweiten unterliegst Du dem Irrtum, daß [mm] -x^2+2x+1=-(x+1)^2=-x^2-2x-1.
[/mm]
Ich zeige Dir, wie Du [mm] f(x)=-x^2+2x+1 [/mm] in Scheitelpunktform umwandeln kannst:
[mm] f(x)=-x^2+2x+1
[/mm]
[mm] =-[x^2-2x-1]
[/mm]
jetzt in der Klammer quadratische Ergänzung:
[mm] =-[x^2-2x+1^2-1^2-1]
[/mm]
binomische Formel:
[mm] =-[(x-1)^2-2]
[/mm]
eckige Klammer auflösen
[mm] =-(x-1)^2+2
[/mm]
Damit hast Du die Parabel in Scheitelpunktform
(nach unten geöffnete Normalparabel mit Scheitel S(1|2)),
und aus [mm] 0=-(x-1)^2+2 [/mm] bekommst Du nun bei weiterer Rechnung die Nullstellen.
LG Angela
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Da musst Du nochmal nachrechnen.
