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| Aufgabe | Berechne die Nullstellen von dieser Funktion:
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}x^3-x^2-x+3 [/mm] |
Das ist bei mir Teil der Integralberechnung, weil ich die Integralgrenzen brauche.. wenn ich jetzt allerdings diese Funktion gleich 0 setze und einbischen rechne, komme ich immer auf falsche Ergebnisse..
Kann mir bitte jemand einpaar Schritte vorwärts rechnen, wie ich diese Aufgabe am schnellsten und elegantesten löse ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Sa 24.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechne die Nullstellen von dieser Funktion:
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{3}x^3-x^2-x+3[/mm]
> Das ist bei mir Teil der Integralberechnung, weil ich die
> Integralgrenzen brauche.. wenn ich jetzt allerdings diese
> Funktion gleich 0 setze und einbischen rechne, komme ich
> immer auf falsche Ergebnisse..
>
> Kann mir bitte jemand einpaar Schritte vorwärts rechnen,
> wie ich diese Aufgabe am schnellsten und elegantesten löse
> ?
Faktorisiere den Term mit der Polynomdivision zu:
[mm] f(x)=\frac{1}{3}(x-3)(x^{2}-3)
[/mm]
Daraus lassen sich die drei Nullstellen hervorragend ermitteln.
Marius
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Okay.. kannst du mir sagen, wie du das gemacht hast ? Bzw. wie ich auf sowas überhaupt kommen soll ?
Ich bin zwar LK 12, aber auf sowas wäre ich jetzt niemals gekommen.. und selbst jetzt wo du es mir gesagt hast, könnte ich noch nichtmal den Schritt von 1 nach 2 durchführen.. Wäre echt dankbar, wenn du mir das erklären könntest.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Sa 24.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Okay.. kannst du mir sagen, wie du das gemacht hast ? Bzw.
> wie ich auf sowas überhaupt kommen soll ?
Die Polynomdivision sollte aber gerade im LK12 bekannt sein.
>
> Ich bin zwar LK 12, aber auf sowas wäre ich jetzt niemals
> gekommen.. und selbst jetzt wo du es mir gesagt hast,
> könnte ich noch nichtmal den Schritt von 1 nach 2
> durchführen.. Wäre echt dankbar, wenn du mir das
> erklären könntest.
Klammere zuerst die [mm] \frac{1}{3} [/mm] aus.
Also:
$ [mm] f(x)=\bruch{1}{3}x^3-x^2-x+3 [/mm] $
[mm] =\frac{1}{3}\left(x^{3}-3x^{2}-3x+9\right)
[/mm]
Die erste Nullstelle bei der Polynomdivision musst du leider erraten, hier die +3. (als ganzzahlige "Kandidaten" kommen nur die Teiler der 9 in Frage, also [mm] \pm1, \pm3 [/mm] und [mm] \pm9 [/mm] )
Also mache die Polynomdivision
[mm] \left(x^{3}-3x^{2}-3x+9\right):(x-3)=(x^{2}-3)
[/mm]
Somit gilt:
[mm] \frac{1}{3}\left(x^{3}-3x^{2}-3x+9\right)=\frac{1}{3}(x-3)\left(x^{2}-3\right)
[/mm]
Marius
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Klar ist mir die Polynomdivision geläufig.. nur in diesem Zusammenhang haben wir sie definitiv noch nicht durchgeführt, bzw. wenn dann ist das schon zu lange her.
Ich verstehe aber definitiv nicht, wieso man das einfach so machen darf.. Ich wäre jetzt nämlich davon ausgegangen, dass dadurch die ganze Funktion verändert wird..
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Hallo Moskito,
auch die Polynomdivision dient nur dazu, etwas zu faktorisieren.
Wenn Du weißt, dass 1017 durch 9 teilbar ist - was über die Quersummenregel ja leicht zu ermitteln ist - dann findest Du den andern Faktor eben über Division. 1017:9=113, also gilt 1017=9*113.
Bei der Polynomdivision geht das nicht anders. Die Zerlegung in Faktoren verändert das Polynom nicht, sondern nur seine Darstellung.
Grüße
reverend
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Danke, für den Beitrag! Der hat für das Verständnis deutlich weitergeholfen.. wenn du mir jetzt noch erklären kannst, wie ich von
[mm] \bruch{1}{3}(x^3-3x^2-3x+9)
[/mm]
auf die Polynomdivision
[mm] (x^3-3x^2-3x+9) [/mm] : (x-3)
komme, habe ich es glaube ich verstanden..
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Hallo nochmal,
das hat Marius alias M.Rex doch schon erklärt.
1) der Faktor [mm] \tfrac{1}{3} [/mm] vor der ersten Potenz wird ausgeklammert, damit
2) die Regel, dass eine ganzzahlige (und übrigens überhaupt rationale) Nullstelle nur bei einem echten Teiler des absoluten Glieds liegen kann, angewandt werden kann und
3) so die Nullstelle x=3 gefunden wird.
Dann muss das ursprüngliche Polynom (egal ob das Drittel ausgeklammert ist oder nicht) durch (x-3) teilbar sein.
Grüße
reverend
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Im Anhang ein Programm, wie man der Reihe nach die Nullstellen von Polynomen finden kann. Falls du keine Näherungslösungen mit dem Rechner suchen sollst, wird dir dein Lehrer nur solche Aufgaben geben, bei denen man mit dem beschriebenen Verfahren die Lösungen findet.
Grundlage des Ganzen ist der Satz: Ist a eine Nulstelle des Polynoms P(x), so ist P(x)=(x-a)*g(x), wobei g(x) ebenfalls ein Polynom ist, dessen Grad um 1 kleiner als der von P ist.
Ist a auch eine Nullstelle von g, so kann man davon (x-a) nochmals abspalten usw.. In diesem Fall sagt man: a ist doppelte/3-fache/... Nullstelle von P.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: DOC) [nicht öffentlich]
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