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Forum "Analysis" - Nullstellenbestimmung
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Nullstellenbestimmung: im Zweifel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Mo 11.12.2006
Autor: Emilia

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion f mit [mm] f(x)=3x^4-12x^3+12x^2-3 [/mm]

Bestimmen Sie die Nullstellen, die Lage und die Art der Extremwerte sowie die Lage der Wendepunkte der Funktion f.


Nullstelle:

[mm] f(x)=3x^4-12x^3+12x^2-3 [/mm]
     = x * [mm] (3x^3-12x^2+12x) [/mm] - 3


[mm] 3x^3-12x^2+12x-3/(x-1)=3x^2-9x+3 [/mm]
[mm] -3x^3+3x^2 [/mm]
__________
           [mm] -9x^2+12x [/mm]
            [mm] 9x^2+ [/mm] 9x
           _________
                        3x-3
                      -3x+3
                      _____
                             0


[mm] 0=3x^2-9x+3|/3 [/mm]
  = [mm] x^2-3x+1 [/mm]

p/q-Formel

[mm] x_1/_2=\bruch{3}{2}\pm\wurzel{(\bruch{3}{4})^2-1} [/mm]
     [mm] x_1=2,6 [/mm]
     [mm] x_2=0,4 [/mm]

Lage und Art von Extremstellen

    [mm] f'(x)=12x^3-36x^2+24x [/mm]
  [mm] f''(x)=36x^2-72x+24 [/mm]
f'''(x)=72x-72

[mm] f'(x)=12x^3-36x^2+24x [/mm]
     [mm] 0=12x^3-36x^2+24x [/mm]
       [mm] =x^2 [/mm] * (12x-36) +24          [mm] x^2=Nullstelle [/mm]
       =36x-36
       =1

[mm] f(x)=3x^4-12x^3+12x^2-3 [/mm]
[mm] f(1)=3*1^4-12*1^3+12*1^2-3 [/mm]
     =0
[mm] P_E [/mm] (1/0)

Bei der Bestimmung der Wendepunkte bekomme ich ganz utopische Werte raus...

[mm] P_W_1 [/mm] (0/0)
[mm] P_W_2 [/mm] (2/99)

stimmt das??? ich bezweifel...

wäre sehr nett, wenn jemand drüber gucken könnte...
Liebe Grüße

Emy

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Nullstellenbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Mo 11.12.2006
Autor: MontBlanc

Hi,

also bei f''(x)=0 bekomme ich folgendes raus:

[mm] x_{1}=-\bruch{1}{3}*(\wurzel{3}-3) [/mm] und

[mm] x_{2}=\bruch{1}{3}*(\wurzel{3}+3) [/mm]

Und für die beiden is [mm] f'''(x)\not=0 [/mm]

Vll hilft dir das ja weiter.

Bis denne

Bezug
        
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Nullstellenbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:27 So 12.08.2007
Autor: MatheDaniel

Hallo,

also ich hänge momentan an der gleichen Aufgabe. Und leider bin ich mir bei den Nullstellen etwas unsicher. Ich komme zwar zu den gleichen Ergebnissen, doch wenn ich mir den Graphen mit Algebra anzeigen lassen, sind ganz andere Nullstellen eingezeichnet. Zum Beispiel bei -0,4.

Zudem sind die oben genannten Nullstellen in der Grafik garnicht die Nullstellen!? Mache ich etwas falsch?

Grüße und einen schönen Sonntag Abend

Daniel

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Nullstellenbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 So 12.08.2007
Autor: Analytiker

Hi Daniel,

erst einmal herzlich [willkommenmr] *smile* !!!

Die Nullstellen der Funktion f(x) = [mm] 3x^{4} [/mm] - [mm] 12x^{3} [/mm] + [mm] 12x^{2} [/mm] - 3

lauten: [mm] x_{1,2} [/mm] = 1 und [mm] x_{3} [/mm] = 1 - [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] x_{4} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] + 1

Der Graph sieht denn folgendermaßen aus:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Liebe Grüße
Analytiker
[lehrer]

PS: In der obigen Berechnung wurden Fehler zur Berechnung der Nullstellen mit Polynomdivison gemacht. Das Restpolynom müsste dritter Ordnung sein, und nicht zweiter... (Folgefehler)

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Bezug
Nullstellenbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 So 12.08.2007
Autor: MatheDaniel

Hey,

vielen Dank für die schnelle und nette Antwort. Nur irgendwie muss ich leider zugeben, dass es mit der Nullstellenberechnung noch nicht geklappt hat. Denn wenn ich die erste Polynomdivision durchführe f(x) = [mm] 3x^4-12x^3+12x^2-3 [/mm] / (x-1) kommt bei mit [mm] 3x^3-9x^2+3x-3 [/mm] heraus. Um die Nullstellen zu berechnen müsste ich jetzt ja noch einmal eine Polynomdivision durchführen, oder? Leider ist das hier aber mit dem Raten einer Nullstelle etwas schwieriger...!?
Denn wenn ich nur x ausklammere und dann versuche auf das Ergebnis zu kommen, klappt das irgendwie nicht, vermutlich geht es auf diesem Wege auch garnicht!?

Viele Grüße und besten Dank

Daniel




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Nullstellenbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 So 12.08.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Daniel,

das Ergebnis deiner Polynomdivision ist richtig [daumenhoch]

[mm] \red{\text{doch nicht ganz, siehe unten im Edit..}} [/mm]

Die Frage, ob  [mm] 3x^2-9x^2+3x+3=3(x^3-3x^2+x+1) [/mm] weitere ganzzahlige Nullstellen hat, kannst du schnell klären, denn wenn es ganzzahlige Nullstellen gäbe, so wären sie Teiler des Absolutgliedes (dasjenige ohne x), also von 1.

Dh. ganzzahlige Kandidaten für eine Nullstelle von [mm] x^3-3x^2+x+1 [/mm] wären [mm] \pm [/mm] 1


Nun, ich denke, so findest du schnell die nächste NST und kannst eine weitere Polynomdivision machen, die dir ein Polynom 2ten Grades beschert, das du mit den "schönen" Standardverfahren weiter verarzten kannst


Gruß

schachuzipus


[mm] \red{EDIT:} [/mm]

ich sehe gerade im Nachhinein, dass du doch einen kleinen Vorzeichenfehler hast

Das Ergebnis der ersten PD ist [mm] 3x^3-9x^2+3x\red{+}3 [/mm]

;-)

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Nullstellenbestimmung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:42 So 12.08.2007
Autor: MatheDaniel

Hallo,

super, jetzt ist es klar und kommt alles wie gewünscht raus :)

Vielen Dank für die Unterstützung und noch einen schönen Abend!

Daniel

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