Nullstellenbestimmung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Sa 22.11.2008 | | Autor: | krauti |
| Aufgabe | | [mm] (x^4-6x^3+2x^2+12x-8) [/mm] Nullstellenbestimmung |
Hallo,
ich soll von der oben genannten Funktion die Nullstellen bestimmen. Ich weis, dass man dies am Besten durch Polynomdivision macht. In der Schule haben wir die Funktion durch [mm] (x^2 [/mm] - 2) geteilt? Wie genau kommt man aber auf dieses [mm] (x^2 [/mm] - 2) ???
Danke
Krauti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Sa 22.11.2008 | | Autor: | zetamy |
> [mm](x^4-6x^3+2x^2+12x-8)[/mm] Nullstellenbestimmung
Hallo,
> ich soll von der oben genannten Funktion die Nullstellen
> bestimmen. Ich weis, dass man dies am Besten durch
> Polynomdivision macht. In der Schule haben wir die Funktion
> durch [mm](x^2[/mm] - 2) geteilt? Wie genau kommt man aber auf
> dieses [mm](x^2[/mm] - 2) ???
Aus der 3. Binomischen Formel erhälst du [mm] $(x^2-2)=(x-\sqrt{2})\cdot (x+\sqrt{2})$. [/mm] Wie du direkt nachrechnen kannst, sind [mm] $\pm\sqrt{2}$ [/mm] Nullstellen von dem Polynom. Man rechnet mit [mm] $(x^2-2)$, [/mm] weil das einfacher/schöner ist als mit Wurzeln zu rechnen.
Gruß, zetamy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Sa 22.11.2008 | | Autor: | krauti |
Aber eigentlich ist es ja fast unmöglich/ bzw. sehr zeitintestiv um auf $ [mm] \pm\sqrt{2} [/mm] $ zu kommen.
Bei einfacheren Funktionen muss man doch, immer den Wert mit a * [mm] x^0 [/mm] betrachten und dann mit allen Teilern von dem Wert a ausprobieren, wann 0 rauskommt?
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Ah, da haben wir vorhin wohl gleichzeitig geschrieben. Meine "Mitteilung" beinhaltet die Antwort auf Deine Frage.
Kurz: man muss nicht, aber die Methode führt bei ganzzahligen Nullstellen oft zum Erfolg. Wenn die Nullstellen nicht ganzzahlig sind (wie hier), dann ist es eher selten, dass nicht nur das absolute Glied, sondern auch die anderen Koeffizienten ganzzahlig sind. Mir fällt eigentlich nur genau das ein, was vorliegt: die Wurzel aus einer ganzen Zahl, positiv wie negativ.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Sa 22.11.2008 | | Autor: | reverend |
zetamy hat ja einerseits Recht, aber andererseits ist Deine Frage, wie man darauf kommt, ja noch nicht beantwortet.
Bei Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten, die soweit gekürzt sind, dass der ggT aller Koeffizienten 1 ist (so wie hier vorliegend), ist es oft ein guter Anfang, die Teiler des absoluten Gliedes durchzuprobieren, jeweils positiv und negativ. Das sind hier [mm] \pm1, \pm2, \pm4, \pm8.
[/mm]
Leider führen die alle nicht zum Erfolg.
Also muss man irgendwie weiter suchen. Niemand kann verlangen, dass Du auf Anhieb "siehst", dass Dein Polynom durch [mm] (x^2-2) [/mm] teilbar ist, oder dass es Nullstellen bei [mm] \pm\wurzel{2} [/mm] hat.
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