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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=2sin x - [mm] \wurzel{3}. [/mm] x [mm] \in [/mm] [-1,5;7]
--> Berechnen Sie die Nullstellen von f exakt. |
Die erste Teilaufgabe verstehe ich nur teilweise.
Ich bin wie folgt vorgegangen:
f(x)=2sin x - [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Ansatz: f(x)=0
0 = 2sin x - [mm] \wurzel{3}
[/mm]
[mm] \bruch{-\wurzel{3}}{2} [/mm] = sin x
sin x = 60 Grad
sin x = [mm] \bruch{\pi}{3}
[/mm]
Daraus folgt, dass die erste Nullstelle auf dem Intervall [-1;5,7] N [mm] (\bruch{\pi}{2}/0) [/mm] liegt.
Wie kann ich die die nächste Nullstelle auf dem Intervall [-1,5;7] ohne Taschenrechner bestimmen ?
Lt. Funktionsplot muss diese bei x=2,09 liegen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo zollbetriebsinspektor, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Was weißt Du über die Periodizität der Winkelfunktionen? Damit lässt sich die Aufgabe lösen.
> Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=2sin x - [mm]\wurzel{3}.[/mm] x
> [mm]\in[/mm] [-1,5;7]
> --> Berechnen Sie die Nullstellen von f exakt.
> Die erste Teilaufgabe verstehe ich nur teilweise.
Hm. Formuliert ist sie aber genau.
> Ich bin wie folgt vorgegangen:
>
> f(x)=2sin x - [mm]\wurzel{3}[/mm]
>
> Ansatz: f(x)=0
>
> 0 = 2sin x - [mm]\wurzel{3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-\wurzel{3}}{2}[/mm] = sin x
Das Minuszeichen ist hoffentlich nur ein Schreibfehler.
> sin x = 60 Grad
>
> sin x = [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm]
Beides nicht. Hier ist das Symbol [mm] \sin [/mm] zuviel.
Im Bogenmaß ist [mm] x=\bruch{\pi}{3} [/mm] , in (Alt)Grad [mm] x=60^{\circ}
[/mm]
> Daraus folgt, dass die erste Nullstelle auf dem Intervall
> [-1;5,7] N [mm](\bruch{\pi}{2}/0)[/mm] liegt.
>
> Wie kann ich die die nächste Nullstelle auf dem Intervall
> [-1,5;7] ohne Taschenrechner bestimmen ?
Wir lesen Deinen Text auch dann ganz, wenn Du ihn nicht ganz so massiv hervorhebst. 
> Lt. Funktionsplot muss diese bei x=2,09 liegen.
Na, es gibt drei Dinge, die man über den Sinus wissen sollte (mal abgesehen von oben verwendetem Funktionswert...):
1) [mm] \sin{(-x)}=-\sin{(x)}
[/mm]
2) [mm] \sin{(\pi-x)}=\sin{x}
[/mm]
3) [mm] \sin{(x+2k\pi)}=\sin{x},\quad k\in\IZ
[/mm]
Die erste Gleichung brauchst Du hier nicht, aber die andern beiden.
Damit findest Du noch die Nullstelle [mm] x_2=\bruch{2\pi}{3}
[/mm]
Die nächste läge bei [mm] x_3=\bruch{7\pi}{3}\approx{7,33}>7
[/mm]
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Fr 13.07.2012 | | Autor: | reverend |
Nachtrag:
...und dass [mm] 7*\bruch{\pi}{3}>7 [/mm] ist, kann man auch ohne TR leicht herausfinden.
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Hallo, danke erstmal für die Antwort.
> Hallo zollbetriebsinspektor,
>
> Was weißt Du über die Periodizität der Winkelfunktionen?
> Damit lässt sich die Aufgabe lösen.
>
> > Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=2sin x - [mm]\wurzel{3}.[/mm] x
> > [mm]\in[/mm] [-1,5;7]
> > --> Berechnen Sie die Nullstellen von f exakt.
> > Die erste Teilaufgabe verstehe ich nur teilweise.
>
> Hm. Formuliert ist sie aber genau.
>
> > Ich bin wie folgt vorgegangen:
> >
> > f(x)=2sin x - [mm]\wurzel{3}[/mm]
> >
> > Ansatz: f(x)=0
> >
> > 0 = 2sin x - [mm]\wurzel{3}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{-\wurzel{3}}{2}[/mm] = sin x
>
> Das Minuszeichen ist hoffentlich nur ein Schreibfehler.
>
> > sin x = 60 Grad
> >
> > sin x = [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm]
>
> Beides nicht. Hier ist das Symbol [mm]\sin[/mm] zuviel.
> Im Bogenmaß ist [mm]x=\bruch{\pi}{3}[/mm] , in (Alt)Grad
> [mm]x=60^{\circ}[/mm]
>
> > Daraus folgt, dass die erste Nullstelle auf dem Intervall
> > [-1;5,7] N [mm](\bruch{\pi}{2}/0)[/mm] liegt.
> >
> > Wie kann ich die die nächste Nullstelle auf dem Intervall
>
> > [-1,5;7] ohne Taschenrechner bestimmen ?
>
> Wir lesen Deinen Text auch dann ganz, wenn Du ihn nicht
> ganz so massiv hervorhebst.
>
> > Lt. Funktionsplot muss diese bei x=2,09 liegen.
>
> Na, es gibt drei Dinge, die man über den Sinus wissen
> sollte (mal abgesehen von oben verwendetem
> Funktionswert...):
>
> 1) [mm]\sin{(-x)}=-\sin{(x)}[/mm]
> 2) [mm]\sin{(\pi-x)}=\sin{x}[/mm]
> 3) [mm]\sin{(x+2k\pi)}=\sin{x},\quad k\in\IZ[/mm]
>
> Die erste Gleichung brauchst Du hier nicht, aber die andern
> beiden.
> Damit findest Du noch die Nullstelle [mm]x_2=\bruch{2\pi}{3}[/mm]
> Die nächste läge bei [mm]x_3=\bruch{7\pi}{3}\approx{7,33}>7[/mm]
>
> Grüße
> reverend
Was hat es mit diesen Gleichungen auf sich ?
1) [mm]\sin{(-x)}=-\sin{(x)}[/mm]
2) [mm]\sin{(\pi-x)}=\sin{x}[/mm]
3) [mm]\sin{(x+2k\pi)}=\sin{x},\quad k\in\IZ[/mm]
Ich weiß das die Sinus und Cosinusfunktion periodisch ist aber was hat das jetzt mit den Gleichungen zu tun. Mein Mathelehrer ist krank und daher sollen wir uns selber beibringen wie man Nullstellen von der Funktion löst.
Wie komme ich zu der Lösung von Reverend?
Mit den Gleichungen weiß ich echt nix anzufangen.
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Hallo nochmal,
> Hallo, danke erstmal für die Antwort.
>
> > Hallo zollbetriebsinspektor,
> >
> > Was weißt Du über die Periodizität der Winkelfunktionen?
> > Damit lässt sich die Aufgabe lösen.
Ich hätte auch noch die Symmetrie erwähnen sollen.
> Was hat es mit diesen Gleichungen auf sich ?
>
> 1) [mm]\sin{(-x)}=-\sin{(x)}[/mm]
> 2) [mm]\sin{(\pi-x)}=\sin{x}[/mm]
> 3) [mm]\sin{(x+2k\pi)}=\sin{x},\quad k\in\IZ[/mm]
Gleichung 2) ist sozusagen die Fassung für die Schule. Vollständig heißt sie so:
2) [mm] \sin{((2k+1)\pi-x)}=\sin{x},\ k\in\IZ
[/mm]
Diese drei Gleichungen sind immer und überall gültig.
Die musst Du können, sonst kannst Du viele Aufgaben nicht lösen.
Sie besagen folgendes:
1) Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
2) Die Sinusfunktion ist achsensymmetrisch zu jeder Geraden, die senkrecht durch ein Maximum oder Minimum verläuft.
3) Die Sinusfunktion ist periodisch, ihre Periodenlänge ist [mm] 2\pi.
[/mm]
Sie stehen so (oder manchmal anders formuliert) auch in jeder guten Formelsammlung. Wenn Du Dir die drei Satzaussagen merken kannst, kannst Du sie aber auch aus dem Kopf rekonstruieren. Ansonsten musst Du sie vor allem anwenden lernen, erst dann lohnt es sich auch, sie auswendig zu können.
Wenn Du z.B. weißt, dass [mm] \sin{\left(\bruch{\pi}{10}\right)}=\bruch{\wurzel{5}-1}{4} [/mm] ist, dann kannst Du mit den obigen Gleichungen sofort und ohne Mühe bestimmen, wie die Werte für
[mm] \sin{\left(\bruch{9\pi}{10}\right)},\ \sin{\left(\bruch{11\pi}{10}\right)},\ \sin{\left(\bruch{19\pi}{10}\right)},\ [/mm] oder auch [mm] \sin{\left(\bruch{-159\pi}{10}\right)},\ [/mm] sind. Probiers mal.
> Ich weiß das die Sinus und Cosinusfunktion periodisch ist
> aber was hat das jetzt mit den Gleichungen zu tun. Mein
> Mathelehrer ist krank und daher sollen wir uns selber
> beibringen wie man Nullstellen von der Funktion löst.
Das ist blöd. Wie lang ist der denn noch krank? Es ist ja immer gut, wenn man mal etwas zurückfragen kann (dafür ist auch dieses Forum da), aber auch, wenn mal einer etwas richtig live zeigt. Das versteht man einfach besser.
Zeichne Dir mal eine Sinuskurve so von [mm] x=-2\pi [/mm] bis vielleicht [mm] x=6\pi [/mm] und versuche, die Gleichungen anhand der Zeichnung nachzuvollziehen.
> Wie komme ich zu der Lösung von Reverend?
> Mit den Gleichungen weiß ich echt nix anzufangen.
Wie gesagt, die sind nicht speziell für diese Aufgabe. Man braucht sie aber dafür.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 04:07 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Philipp91 |
Hallo Reverend, deine 2. Gleichung ist so falsch.
Du meintest wohl [mm]\sin{\left(\bruch{\pi}{2}-x\right)} = \cos{x}[/mm]
> Na, es gibt drei Dinge, die man über den Sinus wissen
> sollte (mal abgesehen von oben verwendetem
> Funktionswert...):
>
> 1) [mm]\sin{(-x)}=-\sin{(x)}[/mm]
> 2) [mm]\sin{\left(\bruch{\pi}{2}-x\right)}=\sin{x}[/mm]
> 3) [mm]\sin{(x+2k\pi)}=\sin{x},\quad k\in\IZ[/mm]
MFG Philipp
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> Du meintest wohl $ [mm] \sin{\left(\bruch{\pi}{2}-x\right)} [/mm] = [mm] \cos{x} [/mm] $
Hallo,
Deine Gleichung stimmt natürlich, aber ich glaube, der reverend meinte eigentlich
[mm] \sin [/mm] x = [mm] \sin(\pi-x).
[/mm]
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Sa 14.07.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Angela,
> > Du meintest wohl [mm]\sin{\left(\bruch{\pi}{2}-x\right)} = \cos{x}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Deine Gleichung stimmt natürlich, aber ich glaube, der
> reverend meinte eigentlich
>
> [mm]\sin[/mm] x = [mm]\sin(\pi-x).[/mm]
Im Prinzip ja.
Eigentlich meinte ich [mm] \sin{((2k+1)\pi-x)}=\sin{x},\ k\in\IZ.
[/mm]
Danke!
lg
rev
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