Nullteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Sa 02.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
wiki sagt, dass der Nullteiler : "
In der abstrakten Algebra ist ein Nullteiler eines kommutativen Ringes R ein vom Nullelement 0 verschiedenes Element a, für das es ein vom Nullelement 0 verschiedenes Element b gibt, so dass ab = 0."
Das ganz bezieht sich ja auf einen kommutativen Ring aber mir ist nicht ganz klar : Beim Ring ist ja normalerweise die erste verknüpfung die addition die zweite die multiplikation. Das Nullelement ist eigentlich das neutrale Element der Addition aber was hat das denn dann mit dem Nullteiler zu tun? Das neutrale element der Multiplikation ist doch das Einselement ?? Weil bei der Addition ist ja immer die 0 das neutrale Element
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> Hallo,
> wiki sagt, dass der Nullteiler : "
> In der abstrakten Algebra ist ein Nullteiler eines
> kommutativen Ringes R ein vom Nullelement 0 verschiedenes
> Element a, für das es ein vom Nullelement 0 verschiedenes
> Element b gibt, so dass ab = 0."
>
> Das ganz bezieht sich ja auf einen kommutativen Ring aber
> mir ist nicht ganz klar : Beim Ring ist ja normalerweise
> die erste verknüpfung die addition die zweite die
> multiplikation. Das Nullelement ist eigentlich das neutrale
> Element der Addition aber was hat das denn dann mit dem
> Nullteiler zu tun? Das neutrale element der Multiplikation
> ist doch das Einselement ?? Weil bei der Addition ist ja
> immer die 0 das neutrale Element
Hallo,
Du sagst ganz richtig, daß als 0 das neutrale Element der Addition bezeichnet wird.
In Ring und Körper haben wir zusätzlich eine Multiplikation.
Es geht nun darum, welche Elemente miteinander multipliziert das neutrale Element der Addition, also 0, ergeben.
In den reellen Zahlen, welche einen Körper bilden, ist uns das wohlbekannt: ein Produkt kann nur 0 sein, wenn einer der beiden Faktoren =0 ist.
Im [mm] \IR [/mm] und in anderen Körpern folgt also aus ab=0, daß a=0 oder b=0.
In Ringen ist dies aber nicht unbedingt so. Hier kann es zwei von 0 verschiedene Ringelemente geben, die miteinander multipliziert das Nullelement, die 0, ergeben.
Ein Beispiel wäre der Ring der Restklassen modulo 6 (- aber ich weiß nicht ob Du den kennst und was Du so alles im Repertoire hast.)
Im Ring der Restklassen modulo 6 ist [2]*[3]=[0], obgleich weder [2] noch [3] die Null des Ringes sind. Dies ist also ein beispiel für einen Ring, der nicht nullteilerfrei ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Sa 02.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
das ist ja logisch 6 ist ja keien primzahl , aber ist in diesem ring die 2 oder die 3 der nullteiler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Rino |
Sowohl als auch. In einem Ring gibt es nicht "den" Nullteiler.
Für $[2]$ findest du ein Element [mm] $b=[3]\not=[0]$ [/mm] mit $[2]*b=[0]$ und
Für $[3]$ findest du ein Element [mm] $b=[2]\not=[0]$ [/mm] mit $[3]*b=[0]$.
Also sind $[2]$ und $[3]$ beides Nullteiler.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Sa 02.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
was meint denn genau
"obgleich weder [2] noch [3] die Null des Ringes sind."
weil eigentlich geht es doch nur darum, dass 2 und 3 im modulo 6 ring nie multipliziert das neutrale element des ringes also 1 ergeben oder?
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> Hallo,
> was meint denn genau
> "obgleich weder [2] noch [3] die Null des Ringes sind."
> weil eigentlich geht es doch nur darum, dass 2 und 3 im
> modulo 6 ring nie multipliziert das neutrale element des
> ringes also 1 ergeben oder?
Hallo,
nein, bei der Frage nach der Nullteilerfreiheit geht es darum, ob es vom additiven neutralen Element verschiedene Elemente gibt, die miteinander multipliziert das additive neutrale ergeben.
"weder [2] noch [3] sind die Null des Ringes" bedeutet: weder [2] noch [3] sind das neutrale Element bzgl. der Addition im Ring der Restklassen mod. 6.
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Vielleicht meinst Du auch dies: Ringe, in denen jedes Element mit Ausnahme der 0 ein Inverses hat, sind Körper, und Körper sind nullteilerfrei.
Nullteilerfrei ist aber auch der Ring der ganzen Zahlen.
Und die Restklassen mod 6 sind ein Beispiel für einen Ring, der nicht nullteilerfrei ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Sa 02.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
"nein, bei der Frage nach der Nullteilerfreiheit geht es darum, ob es vom additiven neutralen Element verschiedene Elemente gibt, die miteinander multipliziert das additive neutrale ergeben. "
Okay aber es wäre doch durchasu möglich, dass ein nullteiler multipliziert mit einem anderen element der enge doch noch das neutrale Element der multiplikation also 1 erzielt?
Kannman sagen, dass das nicht geht, nur weil er mit sich selbst oder mit einem anderen Element in der Meng 0 ergibt ?
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Hallo,
ein Element, welches ein Inverses bzgl * hat, kann kein Nullteiler sein.
Mal angenommen, es hat [mm] a\not=0 [/mm] ein Inverses b, also ba=1, und a wäre gleichzeitig Nullteiler .
Dann gäbe es ein [mm] c\not=0 [/mm] mit ac=0
==> bac=b*0=0 ==> c=0 (denn ba=1). Widerspruch zu [mm] c\not=0.
[/mm]
Also kann a kein Nullteiler sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Sa 02.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
man könnte jedoch auch zuerst rechnen ba= 1 und dass dann mal c, dann weis du eben nicht was rauskommt. oder?
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> hallo,
> man könnte jedoch auch zuerst rechnen ba= 1 und dass dann
> mal c, dann weis du eben nicht was rauskommt. oder?
Hallo,
???
Wenn ba=1, dann ist (ba)c=1*c=c. Egal, welches c ich nehme.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 So 03.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ja genau das mein ich ja aber dann bekommt man keinen widerspruch dazu, dass c ungleich 0 sein muss
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> Hallo,
> ja genau das mein ich ja aber dann bekommt man keinen
> widerspruch dazu, dass c ungleich 0 sein muss
Hallo,
Du hast den Beweis von zuvor nicht richtig verstanden.
Wir wollten doch zeigen: wenn es zu [mm] a\not=0 [/mm] ein passendes Element b gibt, so daß ba=1 ist, dann ist a kein Nullteiler.
Dazu hatten wir angenommen (!), daß a ein Nullteiler ist, ac=0 ist für ein von 0 verschiedenes c und gezeigt, daß das einen Widerspruch ergibt. Also muß die Annahme falsch sein.
Du kannst das auch direkt machen: Sei ba=1 und ac=0 ==> c=bac=b*0=0 ,
also ist a kein Nullteiler. (Denn es hat sich ja ergeben, daß wenn ba=1 ist, aus ac=0 zwangsweise c=0 folgt. Also ist a kein Nullteiler.)
Gruß v. Angela
P.S.: Du hast ja gesagt, es ist für die Schule. Im Rahmen welchen Themas? Für die Facharbeit?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 So 03.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
wie kommt man denn auf
c=bac=b*0=0
warum ist c denn gleich bac ??
weshalb "die" (bestimmte) FAcharbeit ? ne ist ein normales thema..
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> Hallo,
> wie kommt man denn auf
> c=bac=b*0=0
> warum ist c denn gleich bac ??
Hallo,
jeder beweis ist sinnlos, wenn man die Voraussetzungen vergißt.
Wir hatten vorausgesetzt, daß es ein b gibt mit ba=1, weiter hatten wir vorausgesetzt, daß es ein c gibt mit ac=0.
Wenn nun ac=0 ist und man vorn b dranmultipliziert, hat man bac=b*0.
Aufgrund ba=1 ist bac=c, und es ist immer b*0=0 ==> c=0
Gruß v. Angela
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