ODE mit ableitung nach zeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Vektorfeld [mm] $\mathbf{u} [/mm] = [mm] (x+t)\mathbf{i} [/mm] + [mm] (t-y)\mathbf{j}$\\
[/mm]
zu lösen ist [mm] $\frac{dx}{dt} [/mm] = [mm] u_x$, [/mm] d.h. [mm] $\dot [/mm] x = x+t$
bzw [mm] $\frac{dy}{dt} [/mm] = [mm] u_y$, [/mm] d.h. [mm] $\dot [/mm] y = t-y$ |
ganz ehrlich, ich stehe hier total auf'm Schlauch - und das seit guten 2,5 Stunden. Ich habe schon das Internet durchforstet aber nix brauchbares gefunden, und mit meinen Vorlesungsmitschriften komme ich auch nicht weiter.
Laut Maple soll für das erste rauskommen:
$x(t) = [mm] Ae^t-t-1$
[/mm]
Gut, dass ich [mm] $e^t$ [/mm] brauche ist klar, da die Ableitung wieder [mm] $e^t$ [/mm] ist, und das brauche ich schließlich wenn [mm] $\dot [/mm] x(t) = x(t)+t$ sein soll. Aber wie kommt man auf den Rest? Ich blicks einfach nicht :-(
danke & gruß, gb
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Mi 24.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vektorfeld [mm]\mathbf{u} = (x+t)\mathbf{i} + (t-y)\mathbf{j}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> zu lösen ist [mm]\frac{dx}{dt} = u_x[/mm], d.h. [mm]\dot x = x+t[/mm]
> bzw
> [mm]\frac{dy}{dt} = u_y[/mm], d.h. [mm]\dot y = t-y[/mm]
> ganz ehrlich, ich
> stehe hier total auf'm Schlauch - und das seit guten 2,5
> Stunden. Ich habe schon das Internet durchforstet aber nix
> brauchbares gefunden, und mit meinen Vorlesungsmitschriften
> komme ich auch nicht weiter.
>
> Laut Maple soll für das erste rauskommen:
> [mm]x(t) = Ae^t-t-1[/mm]
>
> Gut, dass ich [mm]e^t[/mm] brauche ist klar, da die Ableitung wieder
> [mm]e^t[/mm] ist, und das brauche ich schließlich wenn [mm]\dot x(t) = x(t)+t[/mm]
> sein soll. Aber wie kommt man auf den Rest? Ich blicks
> einfach nicht :-(
[mm] \dot x = x+t[/mm]
ist eine inhomogene DGL, die zugehörige homogene DGL ist [mm] $\dot{x}=x [/mm] $, die die allgemeine Lösung [mm] $x_h(t)=Ae^t$ [/mm] hat. Zur allgemeinen Lösung der inhomogenen DGL kommt man, indem man irgendeine Lösung [mm] $x_p(t)$ [/mm] der inhomogenen DGL auf die allgemeine Lösung der homogenen DGL draufaddiert: $x(t) = [mm] x_h(t) [/mm] + [mm] x_p(t)$. [/mm]
Du brauchst also eine Lösung. Das kannst du nun mit der altehrwürdigen Methode des Anstarrens machen, die allerdings eine gewisse Erfahrung voraussetzt. Systematisch geht's mit der Methode der Variation der Konstanten. Dabei setzt du
[mm] x_p(t) = A(t) * e^t [/mm]
an, setzt dies in die inhomogene DGL [mm]\dot x = x+t[/mm] ein und leitest eine DGL für $A(t)$ ab, die du wiederum löst:
[mm] \dot{A}(t) e^t+ A(t) e^t = A(t)e^t +t \implies \dot{A}(t) = t e^{-t} \implies A(t) = -(1+t)e^{-t} \implies x_p(t) = -t-1 [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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