Oberflächenint. im Vektorfeld < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben ist das Vektorfeld [mm] \vec{v}=\vektor{x*z \\ y*z \\ -y^{2}} [/mm] und der elliptische Kegel [mm] z^{2}=2*x^{2}+4*y^{2} [/mm] für [mm] 0\le z\le4. [/mm] Berechnen Sie das Oberflächenintegral über die gesamte Oberfläche des Kegels. |
Ich verzweifle noch mit diesen blöden Oberflächenintegralen.
Die Lösung hab ich von meinem Prof bekommen. Auf der Lösung wurde das Integral mit dem Satz von Gauß mit der Divergenz berechnet: [mm] \integral_{S}^{}\integral_{}^{}{\vec{v} d\vec{O}}=\integral_{B}^{}\integral_{}^{}\integral_{}^{}{div(\vec{v})*db}
[/mm]
Dann kam [mm] 32*\pi*\wurzel{2} [/mm] raus. Ich hab jetzt probiert es ohne den Satz von Gauß zu machen und habe also folgende Formel:
[mm] \integral_{S}^{}\integral_{}^{}{\vec{v} d\vec{O}}=\integral_{x_{1}}^{x_{2}}\integral_{g(y)}^{h(y)}{(-v_{1}(x,y)*z_{x}-v_{2}(x,y)*z_{y}+v_{3}(x,y))*dx*dy}
[/mm]
Jetzt hab ich folgendes gerechnet:
z ist ja sowieso größer Null, daher genügt es [mm] z=\wurzel{2*x^{2}-4*y^{2}} [/mm] zu betrachten.
[mm] O=\integral_{-2}^{2}\integral_{-\wurzel{8-2*y^{2}}}^{\wurzel{8-2*y^{2}}}{(-2*x^{2}-5*y^{2})*dy*dx}
[/mm]
Maple gibt mir nun das Ergebnis [mm] -36*\pi*\wurzel{2} [/mm] Aber warum????????
Es muss doch das gleiche rauskommen. Mir stellt sich außerdem die Frage warum ich eine negative Fläche raus hab.
Wie komme ich denn drauf, dass ich hier den Satz von Gauß anwenden soll? Und warum kommt nicht das gleiche raus???
Wär über Hilfe dankbar!
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Braunstein |
Tipp zur negativen Fläche: Überprüfe deinen Normalenvektor. Deiner lautet
[mm] \vektor{-f_{x} \\ -f_{y} \\ 1}
[/mm]
Manchmal muss man die z-Achse ändern, sodass der Normalenvektor von der Fläche wegsieht (dh nicht gegen Flussrichtung des Feldes zB).
Gruß, h.
PS: Dies ist nur ein Tipp. Habe nicht nachgerechnet.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Sa 28.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben ist das Vektorfeld [mm]\vec{v}=\vektor{x*z \\ y*z \\ -y^{2}}[/mm]
> und der elliptische Kegel [mm]z^{2}=2*x^{2}+4*y^{2}[/mm] für [mm]0\le z\le4.[/mm]
> Berechnen Sie das Oberflächenintegral über die gesamte
> Oberfläche des Kegels.
> Ich verzweifle noch mit diesen blöden
> Oberflächenintegralen.
> Die Lösung hab ich von meinem Prof bekommen. Auf der
> Lösung wurde das Integral mit dem Satz von Gauß mit der
> Divergenz berechnet:
> [mm]\integral_{S}^{}\integral_{}^{}{\vec{v} d\vec{O}}=\integral_{B}^{}\integral_{}^{}\integral_{}^{}{div(\vec{v})*db}[/mm]
>
> Dann kam [mm]32*\pi*\wurzel{2}[/mm] raus. Ich hab jetzt probiert es
> ohne den Satz von Gauß zu machen und habe also folgende
> Formel:
> [mm]\integral_{S}^{}\integral_{}^{}{\vec{v} d\vec{O}}=\integral_{x_{1}}^{x_{2}}\integral_{g(y)}^{h(y)}{(-v_{1}(x,y)*z_{x}-v_{2}(x,y)*z_{y}+v_{3}(x,y))*dx*dy}[/mm]
>
> Jetzt hab ich folgendes gerechnet:
> z ist ja sowieso größer Null, daher genügt es
> [mm]z=\wurzel{2*x^{2}-4*y^{2}}[/mm] zu betrachten.
>
> [mm]O=\integral_{-2}^{2}\integral_{-\wurzel{8-2*y^{2}}}^{\wurzel{8-2*y^{2}}}{(-2*x^{2}-5*y^{2})*dy*dx}[/mm]
> Maple gibt mir nun das Ergebnis [mm]-36*\pi*\wurzel{2}[/mm] Aber
> warum????????
Ich habe deine Rechnung nicht im Einzelnen nachvollzogen, aber
1. Dein Normalenvektor der Fläche zeigt nach innen. Für den Satz von Gauß muss er nach außen zeigen. Deswegen hast du das Minuszeichen.
2. Du hast nicht über die gesamte Kegeloberfläche integriert, sondern nur über den Mantel. Es fehlt das Integral über die elliptische Fläche parallel zu xy-Ebene bei z=4. Die trägt gerade [mm] $-4\pi\wurzel{2}$ [/mm] bei, das habe ich nachgerechnet.
> Wie komme ich denn drauf, dass ich hier den Satz von Gauß
> anwenden soll?
Den Satz von Gauß nimmst du, weil das Volumenintegral einfacher zu rechnen ist als das Oberflächenintegral.
Viele Grüße
Rainer
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