Oberintegral mit und Maximum < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei
[mm] $I_2 [/mm] : [mm] C_c(\mathbb{R}^2)\to\mathbb{R}$ [/mm] , [mm] $\displaystyle\int\left(\int f(x_1,x_2) dx_2\right)dx_1$
[/mm]
als positive Linearform gegeben, wobei [mm] $C_c$ [/mm] der Raum der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger sei. Berechne [mm] $I_2(f)$ [/mm] für
[mm] $f(x,y)=\max\left\{0,1-|x|-|y|\right\}$ [/mm] |
Offensichtlich ist [mm] $0\le f(x,y)\le [/mm] 1</math>, für alle <math>[mm] (x,y)\in\mathbb{R}^2$. [/mm] Aber wie berechne das innere Integral? Ich habe keine Idee, wie ich hier mit der Maximumsfunktion im Integral umgehen muss.
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Liebe Grüße
Differential
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Hiho,
ich nehme mal an, du integrierst beide Integrale über [mm] $\IR$, [/mm] aber dann gilt doch:
[mm]\int_{\IR^2} f(x,y) \;dx\, dy = \int_{\{1 - |x| - |y| \ge 0\}} \left(1 - |x| - |y|\right) \;dx\, dy[/mm]
Nun finde eine geeignete Beschreibung der Menge [mm] $\{1 - |x| - |y| \ge 0\} \subseteq \IR^2$ [/mm] um deine Integrationsgrenzen zu finden.
Gruß,
Gono.
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Hi,
warum gilt überhaupt die von dir gezeigte Gleichheit? Eine geeignete Beschreibung dieser Menge fällt mir auch nicht ein; ich überlege leider schon etwas länger an dieser Frage herum. $x$ kann ja zunächst wie eine Konstante behandelt werden, da wir zuerst nach $y$ integrieren.
Eine geeignete Beschreibung wäre also vielleicht: [mm] $\left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 : |y|\le 1-|x| \right\}$. [/mm] Wie würde ich dann die Integrationsgrenzen wählen? Da bin ich mir absolut unsicher.
Liebe Grüße
Differential
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Hiho,
> warum gilt überhaupt die von dir gezeigte Gleichheit?
Weil die Funktion sonst doch überall Null ist!
Überall dort, wo $1-|x| - |y| [mm] \le [/mm] 0$ ist doch $f [mm] \equiv [/mm] 0$.
> Eine geeignete Beschreibung wäre also vielleicht: [mm]\left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 : |y|\le 1-|x| \right\}[/mm]
Das sieht doch schon einmal gut aus.
Welche Grenzen ergeben sich dann also für y in Abhängigkeit von x?
Als Grenzen für x bedenke, dass ja auch $0 [mm] \le [/mm] 1 - |x|$ gelten soll, also ergeben sich als Grenzen für x?
Gruß,
Gono.
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Hi,
$x$ muss im Intervall $[-1,1]$, damit $(x,y)$ in der Menge sein kann. Integrieren wir also zunächst von$-1$ bis $1$?!
Dann hätten wir
[mm] $\int_{-1}^1 1-|y|-|x|=\left[ y+y|x|+\frac{1}{2}y^2sign(y) \right]_{-1}^1=2+2|x|$
[/mm]
falls ich mich nicht verrechnet habe.
Passt das soweit?
Liebe Grüße
Differential
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Hiho,
> [mm]x[/mm] muss im Intervall [mm][-1,1][/mm], damit [mm](x,y)[/mm] in der Menge sein kann. Integrieren wir also zunächst von[mm]-1[/mm] bis [mm]1[/mm]?!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das danach war Schwachsinn mit "Autsch"-Garantie.
Schreibe das Doppelintegral bitte mal vollständig hin mit dem bis jetzt erarbeiteten, dann löse das Integral sinnvoll.
Gruß
Gono.
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Hm,
wir haben
[mm] $I_2(f)=\displaystyle\int\left(\int_{-1}^1 1-|x|-|y| dy\right\)dx$
[/mm]
Jetzt würde ich doch einfach das innere Integral integrieren, oder?! Und für das innere Integral ist
[mm] $\int_{-1}^1 [/mm] 1-|x|-|y| [mm] dy=\left[ y-xy\text{ sgn}(x)-\frac{1}{2}y^2\text{ sgn}(y) \right]_{-1}^1=1-2x\text{ sgn}(x)$
[/mm]
Wo ist mein Fehler?
Liebe Grüße
Differential
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Hiho,
> Hm,
>
> wir haben
> [mm]I_2(f)=\displaystyle\int\left(\int_{-1}^1 1-|x|-|y| dy\right\)dx[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du hast doch selbst gesagt, dass das innere Integral y integriert. Warum schreibst du dann an das innere die Grenzen von x und nicht von y??
Ans äußere kommen die Grenzen von x!
> Und für das innere Integral ist [mm]\int_{-1}^1 1-|x|-|y| dy=\left[ y-xy\text{ sgn}(x)-\frac{1}{2}y^2\text{ sgn}(y) \right]_{-1}^1=1-2x\text{ sgn}(x)[/mm]
Du integrierst doch nach x! Da ist |y| eine Konstante und wird somit nicht integriert.
Desweiteren ist es völlig sinnfrei den Betrag so zu integrieren, wie du es getan hast. Das zeigt, dass du dir keinen Kopf gemacht hast, sondern das nur in irgendein Algebra-Programm eingetippt hast.
Mach eine Fallunterscheidung, dann kommen da auch anständige Ergebnisse raus.
Gruß,
Gono.
>
> Wo ist mein Fehler?
>
> Liebe Grüße
> Differential
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Hi,
tut mir leid, dass mit den Integralgrenzen war wirklich Blödsinn. Das richtige Integral sieht so aus
[mm] $\int_{-1}^1\left(\int 1-|x|-|y|\text{ dy}\right)\text{ dx}$
[/mm]
Das innere Integral ist dann
[mm] $\int 1-|x|-|y|\text{ dy}=y-|x|y-\begin{cases}\frac{1}{2}y^2&\text{, falls }y\ge 0\\-\frac{1}{2}y^2&\text{, sonst}\end{cases}$
[/mm]
Die Signum-Funktion sollte nur dazu dienen, diese Fallunterscheidung loszuwerden; schließlich muss ich dieses innere Integral jetzt nochmal nach $x$ integrieren (und zwar in den Grenzen von $-1$ und $1$).
Wie mache ich das nun? Und stimmt das soweit?
Liebe Grüße
Differential
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Hiho,
> Hi,
>
> tut mir leid, dass mit den Integralgrenzen war wirklich
> Blödsinn. Das richtige Integral sieht so aus
> [mm]\int_{-1}^1\left(\int 1-|x|-|y|\text{ dy}\right)\text{ dx}[/mm]
Das sieht schon besser aus, aber noch immer nicht richtig.
Hier fehlen die Grenzen für das innere Integral.
Wie hatten wir y denn eingegrenzt?
> Das innere Integral ist dann
> [mm]\int 1-|x|-|y|\text{ dy}=y-|x|y-\begin{cases}\frac{1}{2}y^2&\text{, falls }y\ge 0\\-\frac{1}{2}y^2&\text{, sonst}\end{cases}[/mm]
>
> Die Signum-Funktion sollte nur dazu dienen, diese
> Fallunterscheidung loszuwerden; schließlich muss ich
> dieses innere Integral jetzt nochmal nach [mm]x[/mm] integrieren
> (und zwar in den Grenzen von [mm]-1[/mm] und [mm]1[/mm]).
>
> Wie mache ich das nun? Und stimmt das soweit?
Wenn du die Grenzen für das innere Integral hingeschrieben hast, hast du am Ende keine Fallunterscheidung mehr, wenn du das Integral korrekt ausgewertet hast. Dazu splitte es an Null und nutze dann die Linearität des Integrals in seinen Grenzen.
Gruß,
Gono.
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Hi,
die Grenzen für $y$ sollten sich aus [mm] $0\le |y|\le [/mm] 1-|x|$ zu $0$ bis $1$ ergeben.
Dann wäre das innere Integral
[mm] $\displaystyle\int_0^1 1-|x|-|y|\text{ dy}=\left[y-|x|y-\frac{1}{2}y^2\right]_0^1=\frac{1}{2}-|x|
[/mm]
Das äußere Integral ergibt sich dann zu
[mm] $\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{1}{2}-|x|\text{ dx}=\left[\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x^2\text{ sgn}(x) \right]_{-1}^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)=0
[/mm]
Gruß
Differential
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Hiho,
> die Grenzen für [mm]y[/mm] sollten sich aus [mm]0\le |y|\le 1-|x|[/mm] zu [mm]0[/mm] bis [mm]1[/mm] ergeben.
Wenn y von 0 bis 1 und x von 0 bis 1 laufen würde, wäre ja auch das Tupel (1,1) bei dir im Integral.
Aber offensichtlich erfüllt das nicht $0 [mm] \le [/mm] 1 - |x| - |y|$
Die Grenze von y hängt echt von |x| ab, d.h. die Integrationsgrenzen für y ergeben sich direkt so wie sie dastehen:
$|y| [mm] \le [/mm] 1 - |x| [mm] \gdw [/mm] |x| - 1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1 - |x| $
Dabei fällt mir noch ein Fehler meinerseits ein bei der Grenze für x.
$0 [mm] \le [/mm] 1 - |x|$ gilt natürlich für $-1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$ und damit ergibt sich als Grenze für x -1 und 1 statt 0 und 1.
Gruß,
Gono.
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Aber die Grenzen von $x$ hatten wir doch als $-1$ bis $1$ bestimmt ...
Ich habe es jetzt nochmal in Ruhe zu Ende gerechnet. Mit den richtigen Grenzen ergibt sich am Ende [mm] $I_2(f)=\frac{2}{3}$.
[/mm]
Ich danke dir sehr für deine Mühe und Geduld!
Liebe Grüße
Differential
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Aber die Grenzen von [mm]x[/mm] hatten wir doch als [mm]-1[/mm] bis [mm]1[/mm] bestimmt ...
Dann ist ja alles gut.
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> Ich habe es jetzt nochmal in Ruhe zu Ende gerechnet. Mit den richtigen Grenzen ergibt sich am Ende [mm]I_2(f)=\frac{2}{3}[/mm].
Gruß,
Gono.
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