Offene Menge? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Mo 12.04.2010 | | Autor: | LariC |
Könnte mir bitte jemand erklären, wie man mathematisch korrekt begründet, dass die Menge{0,1,1/2,1/3,...} offen ist!?
Danke schonmal...
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> Könnte mir bitte jemand erklären, wie man mathematisch
> korrekt begründet, dass die Menge{0,1,1/2,1/3,...} offen
> ist!?
> Danke schonmal...
Hallo,
wir drehen den Spieß um...
Hast Du Zweifel daran, daß die Menge offen ist?
Wenn ja: weshalb?
Wie lautet die Definition für "offene Menge",
und wo liegt Dein Problem, die Offenheit zu beweisen?
Als Teilmenge einer welchen Menge sollst Du Deine Menge denn eigentlich betrachten?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mo 12.04.2010 | | Autor: | LariC |
Hallo angela,
Zuersteinmal handelt es sich bei der gegebenen Menge um eine Teilmenge von IR.
> Hast Du Zweifel daran, daß die Menge offen ist?
> Wenn ja: weshalb?
Naja..mittlerweile nicht mehr - anfangs halt schon, weil ich eher an Intervallgrenzen gedacht, als an Mengenelemente gedacht habe - aber das hat sich zum Glück erklärt!
> Wie lautet die Definition für "offene Menge",
> und wo liegt Dein Problem, die Offenheit zu beweisen?
Eine Menge ist offen, wenn die Menge keinen ihrer Randpunkte enthält
und ich würde dann eben nicht genau wissen, was der Rand dieser Menge ist - ist das nicht das Intervall[0,1] ohne M, wobei, dann hätten 0 und 1 keine Rand - da ist eben das Problem ...
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Hallo,
> Hallo angela,
> Zuersteinmal handelt es sich bei der gegebenen Menge um
> eine Teilmenge von IR.
>
> > Hast Du Zweifel daran, daß die Menge offen ist?
> > Wenn ja: weshalb?
>
> Naja..mittlerweile nicht mehr - anfangs halt schon, weil
> ich eher an Intervallgrenzen gedacht, als an Mengenelemente
> gedacht habe - aber das hat sich zum Glück erklärt!
>
> > Wie lautet die Definition für "offene Menge",
> > und wo liegt Dein Problem, die Offenheit zu beweisen?
>
> Eine Menge ist offen, wenn die Menge keinen ihrer
> Randpunkte enthält
> und ich würde dann eben nicht genau wissen, was der Rand
> dieser Menge ist - ist das nicht das Intervall[0,1] ohne M,
> wobei, dann hätten 0 und 1 keine Rand - da ist eben das
> Problem ...
Deine Menge ist sogar kompakt, d.h. beschränkt und abgeschlossen.
Kennst du den Satz von Heine-Borel? Mit diesem kannst du das schnell zeigen.
Ist das im Übrigen eure Definition von offene Menge: "wenn die Menge keinen ihrer Randpunkte enthält"?
Meistens gibt es [mm] \varepsilon [/mm] - Definitionen, damit kannst du das womöglich auch besser klären.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Mo 12.04.2010 | | Autor: | LariC |
Tja..und schon bin ich völlig irritiert - warum ist diese denn jetzt abgeschlossen, vermutlich, weil sie ihre Grenzen 0 und 1 enthält und sich nur in dieser Menge bewegt!?
Deinen genannten satz kenn ich leider nicht und wir haben noch folgende Deff, sei M Teilmenge A:
M heißt offen, falls die Menge gleich ihrem Inneren ist, also: Für alle x aus M existiert r>0: [mm] K_r(x) [/mm] Teilmenge von M.
Bei abgesschlossen dann entsprechend, wenn die Menge ihrem Abschluss entspricht, also: Wenn für alle [mm] x_k [/mm] in M [mm] x_k\to(k\to\infty)x \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M
Aber ich weiß jetzt wirklich nicht, wie ich damit dann eben die Abgeschlosssenheit beweisen sollte.
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Hallo!
> Bei abgesschlossen dann entsprechend, wenn die Menge ihrem
> Abschluss entspricht, also: Wenn für alle [mm]x_k[/mm] in M
> [mm]x_k\to(k\to\infty)x \in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] M
>
> Aber ich weiß jetzt wirklich nicht, wie ich damit dann
> eben die Abgeschlosssenheit beweisen sollte.
Genau mit deiner obigen Definition.
Deine Menge lässt dich ja auch so schreiben:
$M = [mm] \{\frac{1}{n}|n\in\IN\}\cup\{0\}$.
[/mm]
Beginne den Beweis so:
Sei [mm] $(x_{n})_{n\in\IN}\subset [/mm] M$ eine beliebige konvergente Folge mit Grenzwert [mm] $x\in\IR$. [/mm] Zu zeigen ist: [mm] $x\in [/mm] M$.
Angenommen, [mm] $x\notin [/mm] M$.
Was du jetzt zeigen könntest wäre, dass der Abstand der Folgenglieder von [mm] (x_{n}) [/mm] zu x dann gar nicht beliebig klein werden kann!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Mo 12.04.2010 | | Autor: | LariC |
Aber warum kann der Abstand denn nicht beliebig klein werden - unser x liegt bei der Annahme doch sagoar in [mm] IR\M [/mm] , dann müsste es doch immer einen Abstand geben, der - achso weil x dann ja außerhalb liegt, dann kann er eben nicht unendlich klein gewählt den - gut dann macht das ja doch Sinn. Manchmal muss man das was man denkt einfach mal niederschreben...aber jetzt muss cih diese Erkenntniss ja wieder mathematisch machen...mal schauen...
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Hallo,
> Aber warum kann der Abstand denn nicht beliebig klein
> werden - unser x liegt bei der Annahme doch sagoar in [mm]IR\M[/mm]
> , dann müsste es doch immer einen Abstand geben, der -
> achso weil x dann ja außerhalb liegt, dann kann er eben
> nicht unendlich klein gewählt den - gut dann macht das ja
> doch Sinn. Manchmal muss man das was man denkt einfach mal
> niederschreben...aber jetzt muss cih diese Erkenntniss ja
> wieder mathematisch machen...mal schauen...
Kleiner Tipp noch:
Zunächst solltest du klarstellen, dass der Grenzwert x natürlich in [0,1] liegen sollte.
Dann kannst du, weil er Grenzwert x ja nicht 0 sein darf (sonst läge er in M), ihn "einordnen":
[mm] $\frac{1}{n} [/mm] < x < [mm] \frac{1}{n+1}$.
[/mm]
Damit steht es fast schon da, dass der Abstand nicht beliebig klein werden kann..
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Mo 12.04.2010 | | Autor: | LariC |
Wäre as schonmal ein guter Ansatz?
Wenn x [mm] \not\in [/mm] M und [mm] (x_n) \subset [/mm] M, dann gilt: [mm] \not\exists [/mm] r>0:
[mm] K_r(x) \subset [/mm] M
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Hallo,
> Wäre as schonmal ein guter Ansatz?
>
> Wenn x [mm]\not\in[/mm] M und [mm](x_n) \subset[/mm] M, dann gilt:
> [mm]\not\exists[/mm] r>0:
> [mm]K_r(x) \subset[/mm] M
das stimmt zwar zweifellos, aber ich weiß nicht genau wie die das weiterbringt.
Du kannst dich ja erstmal an meiner Beweisskizze oben probieren.
Grüße,
Stefan
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> Könnte mir bitte jemand erklären, wie man mathematisch
> korrekt begründet, dass die Menge{0,1,1/2,1/3,...} offen
> ist!?
> Danke schonmal...
Hallo,
die Sache beunruhigt mich...
Irgendwie mußt Du doch darauf gekommen sein, daß die Menge offen ist...
Stand das irgendwo?
Falls ja, dann solltest Du doch mal den kompletten Aufgabentext mit allem Drum und Dran posten...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Di 13.04.2010 | | Autor: | LariC |
Ne - das stammt so garnicht aus einer richtigen Aufgabe.
Es ging mir nur darum zu verstehen warum diese Menge offen war, weil mir gesagt worden ist, dass jede Menge, die geschlossene Lücken aufweist offen ist - aber dann sind ie Lücken hier wohl nicht geschlossen!?
Ich wüsste jetzt irgendwie garnicht mehr, wie ich einfach erklären sollte, dass diese Menge abgeschlossen ist!
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> Ne - das stammt so garnicht aus einer richtigen Aufgabe.
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> Es ging mir nur darum zu verstehen warum diese Menge offen
> war, weil mir gesagt worden ist, dass jede Menge, die
> geschlossene Lücken aufweist offen ist - aber dann sind ie
> Lücken hier wohl nicht geschlossen!?
Genau.
Nehmen wir doch mal die Lücke zwichen 1/3 und 1/2.
Da liegen alles x mit 1/2>x>1/3, also handelt es sich um das offene Intervall ]1/3, 1/2[.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Di 13.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
Das Komplement obiger Menge M ist Vereinigung offener Intervalle und eine Vereinigung offener Mengen ist offen.
FRED
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