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| Aufgabe | Sei $G$ die Gruppe aller räumlichen Drehungen, die einen regelmäßigen Oktaeder festlassen.
Operieren Sie mit $G$ auf Paaren gegenüberliegender Seiten und zeigen sie, dass $G$ isomorph zu [mm] $S_4$ [/mm] ist. |
Ich habe bereits festgestellt, dass die Bahn jeder Ecke $x$ von der Länge $6$ und die Ordnung des Stabilisators $4$ ist. Nach der Bahnformel hat $G$ also [mm] $6*4=24=|S_4|$ [/mm] Elemente.
Wie geht man nun weiter vor? Mein erster Gedanke war, einen surjektiven Homomorphismus [mm] $G\to S_4$ [/mm] zu suchen. Aufgrund der identischen Ordnungen ist dass dann ein Isomorphismus. Aber wie genau? Keine Ahnung.
Habt ihr eine Idee?
Gruß
Differential
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Hi Differential,
Leichter ist es, denke ich, wenn du zeigst, dass $ G $ effektiv ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hallo UniversellesObjekt,
ich befürchte, dass wird nicht leichter sein, denn ich höre den Begriff gerade zum ersten Mal ;)
Mir liegt unser komplettes Vorlesungsskript vor; der Begriff taucht dort leider nicht auf.
Hast du noch eine andere Idee?
Gruß
Differential
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Du weißt aber, dass jede Operation $ [mm] G\times X\longrightarrow [/mm] X $ in direkter Korrespondenz steht zu einem Homomorphismus $ [mm] G\longrightarrow\operatorname [/mm] {Sym} X $? Wenn dieser injektiv ist, heißt die Operation effektiv oder treu . Der Kern ist genau der Durchschnitt aller Stabilisatoren. Es genügt also zu zeigen, dass dieser trivial ist, was wiederum so gut wie trivial ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Ja, jetzt kommen wir der Sache näher. Der Begriff treu ist mir nämlich durchaus bekannt.
Wenn der Kern von [mm] $G\to\text{Sym }\left\{1,\cdots,4\right\}=S_4$ [/mm] also der Durchschnitt aller Stabilisatoren [mm] $G_x:=\left\{\sigma\in G : \sigma x=x\right\}$ [/mm] ist und jedes [mm] $G_x$ [/mm] die Menge der Drehungen ist, die $x$ festlassen, dann ist der Schnitt natürlich die Identität, oder?
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Hi,
Deine Formulierung deutet darauf hin, dass ihr nicht bewiesen habt, dass der Kern genau [mm] $\bigcap_{x\in G} G_x [/mm] $ ist. Das solltest du dir dann noch überlegen (geschätzter Aufwand des Beweises: eine Zeile).
Und ja, dass dieser nur aus der Identität besteht, ist die Behauptung, die wir haben wollen. Eine Formulierung, welche über "dieser Schnitt ist natürlich die Identität" hinausgeht, ist bei Korrektoren bestimmt gerne gesehen 
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
P.S.: Wenn du [mm] $\{1,2,3,4\} [/mm] $ durch [mm] $\{1,\dots,4\} [/mm] $ abkürzt, verbrauchst du dadurch nur mehr Zeichen
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Doch, ich habe gerade nochmal nachgesehen und den Satz gefunden.
Wie formalisiere ich denn, dass dieser Schnitt nur die Identität beinhaltet? Ich meine, dieser Schnitt ist ja genau die Drehung, die alle Ecken festlässt. Außer der Identität bietet das keine andere Drehung.
Gruß
Differential
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Hi,
so wie du es jetzt schreibst, klint es schon besser. Das eben war etwas sehr dünn. Außerdem deutet die Verwendung von Begriffen wie "natürlich", "offensichtlich", "offenbar", etc. häufig darauf hin, dass man etwas nicht völlig verstanden hat, sondern einfach hofft, dass es vielleicht wirklich offensichtlich ist. Viel formaler, als du es jetzt hast, geht es ja schlecht, weil ihr die Begriffe "Oktaeder" "Oktaeder festlassen", "Kanten", usw. ja vermutlich nicht formal, sondern nur anschaulich eingeführt habt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
Edit: Es sollten natürlich Kanten (bzw. Paare von solchen) sein, welche festgelassen werden und nicht Ecken.
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Zu deinem Edit: Welchen Unterschied macht das? In einem Aufgabenteil (a) habe ich dadurch alle Elemente von $G$ bestimmt, dass ich $G$ auf den Ecken operieren ließ und die Elemente von $G$ bestimmte, die eine Ecke festlassen.
Das Resultat war wie gesagt $|G|=24$. Warum ist es jetzt so wichtig, dass wir $G$ auf paaren gegenüberliegender Seiten operieren lassen? Zum einen sehe ich nicht, wo wir das bisher genutzt haben (oder nutzen mussten) und zum anderen, hat doch die [mm] $S_4$ [/mm] ebenfalls $24$ Elemente; obiges sieht also gut aus!
Gruß
Differential
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Hi,
Alles in unserer Argumentation bezieht sich auf die fest gewählte Operation $ [mm] G\longrightarrow S_4$, [/mm] welche in der Aufgabenstellung vorgeschlagen wird. Die Länge der Orbites, die Ordnung der Stabilisatoren; insbesondere, dass wir überhaupt einen Homomorphismus $ [mm] G\longrightarrow S_4$ [/mm] haben, liegt doch daran, dass wir genau vier Paare von gegenüberliegenden Seiten haben. Wenn du auf einmal eine Operation auf die Ecken betrachtest, ändern sich nicht nur Orbites und Stabilisatoren - die Ordnung von $ G $ bleibt natürlich trotzdem gleich, an der Gruppe ändert sich ja nichts - sondern wir haben auf einmal nur noch einen Homomorphismus $ [mm] G\longrightarrow S_6$! [/mm] Wir müssen daher schon immer dieselbe Operation auf die Menge der Paare gegenüberliegender Seiten betrachten, und auch von dieser Operation zeigen, dass sie treu ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Ja, klar. Ist natürlich Blödsinn gewesen. Vielen Dank für deine Erklärung.
Aber eine Frage habe ich noch: Warum folgt aus der Treue der Operation, dass $G$ isomorph zur [mm] $S_4$ [/mm] ist?
Gruß
Differential
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Fr 10.01.2014 | | Autor: | hippias |
Du weisst ja bereits, dass die Ordnung von $G$ mit der der [mm] $S_{4}$ [/mm] uebereinstimmt. Ferner ist $G$ modulo dem Kern der Operation isomorph zu einer Untergruppe der [mm] $S_{4}$, [/mm] und da dieser $=1$ ist, folgt die Isomorphie.
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Klar, stimmt. Ich danke dir!
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