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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 18:29 Fr 17.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Man ermittle alle positiven ganzen Zahlen x und y, für die
[mm] \bruch{1}{x} + \bruch{1}{y} = \bruch{1}{2003} [/mm]
gilt.
PS. Ich werde meinen Lösungsweg in einem Mitteilungsartikel hinzufügen.
Viel Spass
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Es muss auf jeden Fall $x,y>2003$ gelten.
Beweis:
Wäre eines der beiden kleiner als $2003$ und sei diese Variable o.B.d.A. $x$, so wäre schon [mm] $\frac{1}{x}\geq\frac{1}{2003}$. [/mm] Wegen [mm] $\frac{1}{y}>0$ [/mm] führt dies zu [mm] $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>\frac{1}{2003}$ [/mm] - ein Widerspruch.
O.B.d.A gilt [mm] $x\leq [/mm] y [mm] \gdw \frac{1}{x}\geq \frac{1}{y}$.
[/mm]
Dann ist [mm] $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2003}\leq\frac{2}{x} \gdw x\leq [/mm] 4006$.
Sei im Folgenden $4006-x=z$
Es gilt:
[mm] $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2003}$
[/mm]
[mm] $\gdw\frac{x+y}{x\cdot y}=\frac{1}{2003}$
[/mm]
[mm] $\gdw\frac{(4006-z)+y}{(4006-z)\cdot y}=\frac{1}{2003}$
[/mm]
Wir nehmen nun an, dass der Bruch vollständig gekürzt sei. Dann gilt
$x+y=1$ und [mm] $x\cdot [/mm] y=2003$. Da $2003$ eine Primzahl ist, ist dies nur möglich, wenn $x=1$ und $y=2003$ oder umgekehrt. Dann jedoch ist $x+y=2004$, was im Widerspruch zu der ersten Gleichung steht.
D.h. also, dass Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler besitzen müssen. Wir prüfen den Zähler nun auf
-> Teilbarkeit durch $y$:
Da $4006-z>2003$ wegen $x>2003$, lässt sich kein passendes $x$ neben $x=y$ finden, da zwischen $2003$ und $4006$ nur ein Vielfaches von $y$ liegt, und das ist $y$ selber.
Diesen Fall werden wir gesondert behandeln.
-> Teilbarkeit durch $(4006-z)$:
In diesem Falle müsste $y$ ein Vielfaches von $4006-z=x$ sein. Rechnen wir dies einmal durch:
Da, ob ungekürzt oder nicht, der Nenner [mm] $x\cdot [/mm] y$ ein Vielfaches von $2003$ sein muss, gilt [mm] $2003|x\cdot [/mm] y$. Da nun [mm] $y=k\cdot [/mm] x$ sein soll, gilt [mm] $2003|k\cdot x^2$. [/mm] Wegen $2003<x<4006$ (man beachte, dass $x=4006$ gesondert betrachtet wird) muss dann $2003|k$ gelten. Es sei also [mm] $k=2003\cdot [/mm] j$.
Dann gilt:
[mm] $\frac{x+2003\cdot j\cdot x}{2003\cdot x^2\cdot j}=\frac{1}{2003}$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{x(2003\cdot j+1)}{x^2\cdot j}=1$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{2003\cdot j+1}{x\cdot j}=1$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{2003\cdot j+1}{j}=x$
[/mm]
Wegen [mm] $2003\cdot j+1\not= j\cdot [/mm] l$ für [mm] $l\in \IN$ [/mm] ist $x$ nicht natürlich, ein Widerspruch zur Annahme.
Es folgt also, dass die einzige Möglichkeit, alle Widersprüche zu umgehen, die Annahme $x=y$ ist.
Dann ist
[mm] $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2003}$
[/mm]
[mm] $\gdw\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{1}{2003}$
[/mm]
[mm] $\gdw\frac{2}{x}=\frac{1}{2003}$
[/mm]
[mm] $\gdw\frac{x}{2}=2003$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x=4006$.
Dies führt zum einzigen Lösungspaar $(x,y)=(4006,4006)$.
Damit ist die Aufgabe gelöst.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi.
Ich muss hier auch einen Fehler drinne haben, da Zwieback's Lösung zu stimmen scheint.
Sorry.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho ;)
So, tut mir leid, jetzt hab ich's auch ;)
Ich habe am Ende bei $j$ einen Fehler gemacht. $j$ kann auch $1$ sein, dann komme ich auch auf Zwiebies (EDIT: nicht Tubbys ;) ) Ergebnis!
Toll, jetzt bin ich auch zufrieden :-D
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Fr 17.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
So hier mein Lösungsversuch:
Zuersteinmal wird die GLeichung untersucht, unter dem Aspekt, dass x=y gelte, daraus ergibt sich:
[mm] \bruch{2}{x} = \bruch{1}{2003} [/mm]
Daraus ergibt sich auch schon das erste ergebnis für x=4006 und y=4006!
Nun gehe ich weiter davon aus, dass x<y gelte, es ist hier nicht notwendig <= zu schreiben, da der Fall Gleichheit ja schon untersucht wurde.
-> [mm] \bruch{1}{x} > \bruch{1}{y} [/mm]
Aus dieser Ungleichung kann man erkennen, dass
[mm] 2 * \bruch{1}{y} < \bruch{1}{2003} [/mm] und
[mm] 2 * \bruch{1}{x} > \bruch{1}{2003} [/mm]
gelten muss!
Daraus folgt:
[mm] y<4006 [/mm] und
[mm] x>4006 [/mm] !
Jetzt haben wir erstmal die Bereiche der beiden Variablen geklärt nun habe ich mich näher mit der Gleichung beschäftigt:
es gilt:
[mm] x * y = 2003k [/mm] und
[mm] x+y = k [/mm] ! k entspricht den Natürlichen Zahlen!
Nach umstellen ergibt sich:
[mm] \bruch{xy}{2003} = x+y[/mm]
Da 2003 eine Primzahl ist muss das Produkt xy ein Vielfaches von 2003 oder 2003 selbst sein, das kann man in 2 Fällen erreichen:
1.Fall:
In diesem Fall geh ich davon aus, dass y das Vielfache von 2003 ist, nach der obigen Definition y<4006 kann y nur 2003 sein daraus ergibt sich in der Gleichung:
[mm] x = x+2003[/mm] Also fällt dieser Fall schonmal raus!
2.Fall
Ich gehe davon aus, dass nun x>4006 ein Vielfaches von 2003 sei, daraus ergibt sich:
[mm] x = 2003k , k>2[/mm]
[mm] ky = 2003k + y[/mm]
[mm] y = \bruch{2003k}{k-1}[/mm]
Man sieht, dass k-1 = 2003 oder ein Vielfaches davon sein muss, da sonst keine Natürliche Zahl für y herauskommen würde!
Also bringe ich eine neue Variable ein:
[mm] k = 2003t + 1[/mm]
daraus ergibt sich:
[mm] y = \bruch{2003t + 1}{t}[/mm]
Aus dieser Gleichung konnte ich nun erkennen, dass y nur den Wert einer natürlichen Zahl annimmt, wenn t = 1!
Daraus ergibt sich die 2. und 3. Lösung
[mm] x=4014012 , y=2004[/mm] und
[mm] x=2004 , y=4014012[/mm]!
Damit denke ich habe ich alle Lösungen erhalten, ich hoffe ich habe keine Fehler gemacht. mfg zwieback86
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Zwiebi!
Schön gemacht, scheint ja zu stimmen.
Muss jetzt noch schauen, wo bei mir der FEhler liegt.
Gruß,
Hanno
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Hallo.
[mm]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{2003}[/mm]
[mm]\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{2003}[/mm]
Da 2003 prim ist, muss gelten [mm]2003|xy[/mm]. Also ist entweder x oder y ein Vielfaches von 2003.
Man kann annehmen an dass [mm]x = 2003*j[/mm] gilt (Symmetrie):
[mm]\frac{1}{2003*j}+\frac{1}{y} = \frac{1}{2003}[/mm]
[mm]\frac{1}{y} = \frac{1}{2003}-\frac{1}{2003*j}[/mm]
[mm]\frac{1}{y} = \frac{j-1}{2003*j}[/mm]
[mm]\frac{2003*j}{y} = j-1[/mm]
Ist j-1 kein Vielfaches von 2003, so muss y ein Vielfaches von 2003 sein (da die 2003 herausgekürzt werden muss):
[mm]y = 2003*k[/mm]
mit [mm]k = \frac{j}{j-1}[/mm].
[mm]j[/mm] und [mm]j-1[/mm] haben keine gemeinsamen Primteiler. Daraus folgt, dass [mm]j-1[/mm] keine Primteiler haben darf, damit das Ganze glatt teilbar ist. Also gilt [mm]j-1 = 1[/mm] und [mm]j = 2[/mm] und daher auch [mm]k = j = 2[/mm].
Eine Lösung ist also [mm]x = 4006, y = 4006[/mm]
Ist [mm]j-1[/mm] ein Vielfaches von 2003, so gilt
[mm]j-1 = 2003*n[/mm]
[mm]j = 2003*n+1[/mm]
[mm]\frac{2003*j}{y} = j-1[/mm]
[mm]\frac{2003*(2003*n+1)}{y} = 2003*n[/mm]
[mm]\frac{(2003*n+1)}{y} = n[/mm]
[mm]y = 2003 + \frac{1}{n}[/mm] ist nur für [mm]n = 1[/mm] ganzzahlig.
[mm]y = 2004[/mm]
[mm]x = 2003*j[/mm]
[mm]j-1 = 2003[/mm]
[mm]j = 2004 \Rightarrow x = 2003*2004[/mm]
Es ergeben sich also die Lösungspaare [mm](4006;4006), (2004;2003*2004), (2003*2004;2004)[/mm]
MfG
Jan
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