Operator/Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Mi 04.08.2010 | | Autor: | Wurzel2 |
Hallo.
Wenn von einem selbstadjungierten Operator eines endlichdimensionalen Skalarproduktraumes die Sprache ist, kann ich dann auch von einer selbstadjungierten Abbildung eines endlichdimensionalen Vektorraumes mit Skalarprodukt, also euklidisch oder unitär, reden? Bzw von einer selbstandjungierten Matrix?
Ich hatte nämlich nie Funktionalanalysis in der anscheinend die Begriffe Operator und so vorkommen.
Danke im Voraus.
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Ok ich versuchs mal so. Sei $V$ ein endlichdimensionaler [mm] $\mathbb{K}$-VR, [/mm] etwa [mm] $V=\sum_{i=1}^n\mathbb{K}v_i$ [/mm] und $F$ ein Endomorphismus mit [mm] $\langle F(v),w\rangle=\langle v,F(w)\rangle$, [/mm] wobei [mm] $\mathcal{B}=(v_1,\ldots,v_n)$ [/mm] eine ON-Basis sind so ist [mm] $M_{\mathcal{B}}(F)$ [/mm] hermitisch bzw. symmetrisch. Ein stetiger Operator ist eine lineare Abbildung zwischen zwei normierten Vektorräumen. Die Abbildung $F$ ist stetig da [mm] $\exists M>0\forall x\in V:\left\|Fx\right\|\leq M\left\|x\right\|$ [/mm] ist, denn die Operatornorm ist in diesem Fall gerade der größte Eigenwert. Damit ist $F$ ein stetiger selbstadjungierter Operator.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:45 Do 05.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok ich versuchs mal so. Sei [mm]V[/mm] ein endlichdimensionaler
> [mm]\mathbb{K}[/mm]-VR, etwa [mm]V=\sum_{i=1}^n\mathbb{K}v_i[/mm] und [mm]F[/mm] ein
> Endomorphismus mit [mm]\langle F(v),w\rangle=\langle v,F(w)\rangle[/mm],
> wobei [mm]\mathcal{B}=(v_1,\ldots,v_n)[/mm] eine ON-Basis sind so
> ist [mm]M_{\mathcal{B}}(F)[/mm] hermitisch bzw. symmetrisch. Ein
> stetiger Operator ist eine lineare Abbildung zwischen zwei
> normierten Vektorräumen. Die Abbildung [mm]F[/mm] ist stetig da
> [mm]\exists M>0\forall x\in V:\left\|Tx\right\|\leq M\left\|x\right\|[/mm]
Was ist denn jetzt T ? T=F ?
> ist, denn die Operatornorm ist in diesem Fall gerade der
> größte Eigenwert.
Das stimmt so nicht ! Ist z.B. T nilpotent und [mm] \ne [/mm] 0, so ist ||T|| [mm] \ne [/mm] 0, aber T hat nur den Eigenwert 0
Ist T ein selbstadjungierter Operator auf einem endlichdim. Raum, so gilt:
$||T||= max [mm] \{|\lambda|: \lambda~ ist ~Eigenwert~ von ~ T \}$
[/mm]
FRED
> Damit ist [mm]F[/mm] ein stetiger
> selbstadjungierter Operator.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Do 05.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
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> Wenn von einem selbstadjungierten Operator eines
> endlichdimensionalen Skalarproduktraumes die Sprache ist,
> kann ich dann auch von einer selbstadjungierten Abbildung
> eines endlichdimensionalen Vektorraumes mit Skalarprodukt,
> also euklidisch oder unitär, reden? Bzw von einer
> selbstandjungierten Matrix?
>
> Ich hatte nämlich nie Funktionalanalysis in der
> anscheinend die Begriffe Operator und so vorkommen.
Das ist in der Tat so. In der Funktionalanalysis:
linearer Operator= lineare Abbildung
FRED
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> Danke im Voraus.
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