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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Mi 29.05.2013 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Sei $P$ ein Polynom mit reellen nichtnegativen Koeffizienten. Man zeige, dass für jeden beschränkten Operator in einem normierten Vektorraum die folgende Ungleichung gilt: [mm] $\Vert [/mm] P(A) [mm] \Vert \leq P(\Vert [/mm] A [mm] \Vert)$. [/mm] |
Hallo,
ein paar Probleme hab ich noch. Schreib [mm] $P(T)=a_nT^n+...+a_1T+a_0$. [/mm] Im Folgenden wird das Supremum immer über alle normierten $x [mm] \in [/mm] X$ genommen.
Also:
[mm] $\Vert P(A)\Vert=\sup\Vert P(A)x\Vert=\sup(\Vert a_{n}A^{n}x+...+a_{1}Ax+a_{0}x\Vert) \leq a_{n}\sup\Vert A^{n}x\Vert+...+a_{1}\sup\Vert Ax\Vert+a_0$.
[/mm]
Soweit komme ich ja. Aber ich müsste ja irgendwie dahin, dass das obere kleiner gleich
[mm] a_{n}(\sup\Vert Ax\Vert)^{n}+...+a_{1}\sup\Vert Ax\Vert+a_{0}
[/mm]
ist.
Kann ich denn [mm] $\sup \Vert A^k [/mm] x [mm] \Vert \leq (\sup \Vert [/mm] Ax [mm] \Vert)^k$ [/mm] abschätzen und wenn ja, wieso?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Mi 29.05.2013 | | Autor: | hippias |
Ist $A$ ein beschraenkter Operator, so gilt fuer alle $x$, dass [mm] $||Ax||\leq [/mm] ||A|| ||x||$. Damit sollte Deine Abschaetzung gelingen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Do 30.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Was Du auch noch benötigst, ist die Submultiplikativität der Operatornorm:
[mm] ||A^k|| \le ||A||^k [/mm] für k [mm] \in \IN_0.
[/mm]
FRED
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