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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Di 06.11.2012 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | [mm] Y_1,...,Y_n [/mm] seien iid Zufallsvariablen, die eine Exp-verteilung mit Parameter [mm] \lambda=1 [/mm] besitzen. [mm] W_1:=Y_{1:n}, W_j:=Y_{j:n}-Y_{j-1:n}.
[/mm]
Die gemeinsame Dichte von [mm] (Y_{i:n})_{i\le n} [/mm] hat die Form:
[mm] f(y_1,...,y_n)=n! e^{-\summe_{i=1}^{n}{y_i}}
[/mm]
Man zeige, dass [mm] (W_j)_{j\le n} [/mm] stochastisch unabhängig sind. |
Hey zusammen!
Ich hoffe Ihr könnt mir bei der Aufgabe helfen...
Die stochastische Unabhängigkeit wird gezeigt mit:
[mm] \IP\{W_1\le w_1,..., W_n\le w_n\}=\IP\{W_1\le w_1\}*...*\IP\{W_1\le w_n\}
[/mm]
[mm] \IP\{W_1\le w_1,..., W_n\le w_n\}=\IP\{Y_{1:n}\le w_1,..., Y_{n:n}-Y_{n-1:n}\le w_n\}
[/mm]
Andererseits könnte man schreiben:
[mm] \IP\{Y_{1:n}\le x_1, Y_{2:n}-Y_{1:n}\le x_2-x_1,..., Y_{n:n}-Y_{n-1:n}\le x_n-x_{n-1}\}=\integral_{0}^{x_1}{\integral_{0}^{x_2-x_1}...\integral_{0}^{x_n-x_{n-1}}{f(y_1,...,y_n) dy_1dy_2...dy_n}}
[/mm]
jetzt müsste man glaube ich den Trafosatz anwenden, aber hier stehe ich auf dem Schlauch...
Es wäre super nett, wenn jemand mir helfen würde!!
Beste Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Di 06.11.2012 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo math101,
> [mm]Y_1,...,Y_n[/mm] seien iid Zufallsvariablen, die eine
> Exp-verteilung mit Parameter [mm]\lambda=1[/mm] besitzen.
> [mm]W_1:=Y_{1:n}, W_j:=Y_{j:n}-Y_{j-1:n}.[/mm]
Was bedeutet die Schreibweise [mm] Y_{j:n} [/mm] ?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:41 Mi 07.11.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin
>
> Was bedeutet die Schreibweise [mm]Y_{j:n}[/mm] ?
>
>
[mm]Y_{j:n}[/mm] ist der $j$-te Wert in der geordenten Stichprobe. So ist
[mm]Y_{1:n}[/mm] das Minimum und [mm]Y_{n:n}[/mm] das Maximum.
vg Luis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Mi 07.11.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Die gemeinsame Dichte von [mm](Y_{i:n})_{i\le n}[/mm] hat die Form:
> [mm]f(y_1,...,y_n)=n! e^{-\summe_{i=1}^{n}{y_i}}[/mm]
Mit Verlaub, aber das ist sehr schlampig aufgeschriebenn
> Es wäre super nett, wenn jemand mir helfen würde!!
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier unter Independence between absolutely continuous random variables. Dort wird ein Kriterium fuer Unabhaengigkeit von zwei Zufallsvariablen angegeben, was weiter unten verallgemeinert wird und fuer deine Fragestellung passen duerfte.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Mi 07.11.2012 | | Autor: | math101 |
Danke für die Hinweise!!
Mit [mm] Y_{j:n} [/mm] ist die Zufallsvariable, die an der j-ten Stelle steht, wenn man den Zufallsvektor der Größe nach einordnet.
In dem Bespiel handelt es sich aber um Zufallsvariablen, die nicht geordnet sind. Wenn man sie ordnet, ändert sich die Verteilungsfunktion. Für Dichte gilt dann:
[mm] f(x_1,...,x_n)=n!*exp(-\sum_{i=1}^{n}{x_i}) [/mm] mit [mm] (x_1,...,x_n)\in[0,\infty)^n
[/mm]
Ich versuche jetzt anhand des Bespiels die Aufgabe zu lösen.
Danke noch mal!!
beste Grüße
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