Ordnung von GL(2,Z) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Do 05.05.2011 | | Autor: | willy89 |
| Aufgabe | | Warum kann GL(2,Z) nur Elemente der Ordnung 1,2,3,4 und 6 bestizen? Bestimmen Sie Elemente dieser Ordnungen |
Hallo,
mit der Gruppe sind die 2x2 Matrizen mit Determinante ungleich null und ganzzahligen Einträgen gemeint.
Ich habe die Elemente bereits bestimmt, habe aber keine Ahnung, wie ich bei dem Beweis mit der Ordnung weiter vorgehen soll.
Wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet.
Grüße
willy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Do 05.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin willy!
> Warum kann GL(2,Z) nur Elemente der Ordnung 1,2,3,4 und 6
> bestizen? Bestimmen Sie Elemente dieser Ordnungen
>
> mit der Gruppe sind die 2x2 Matrizen mit Determinante
> ungleich null und ganzzahligen Einträgen gemeint.
> Ich habe die Elemente bereits bestimmt,
Ich hoffe, du hast sie nicht alle aufgeschrieben. Es sei denn du bist Chuck Norris.
> habe aber keine
> Ahnung, wie ich bei dem Beweis mit der Ordnung weiter
> vorgehen soll.
> Wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet.
Nun, wenn ein Element $A [mm] \in [/mm] GL(2, [mm] \IZ)$ [/mm] endliche Ordnung $n$ hat, dann gilt ja [mm] $A^n [/mm] - E = 0$. Damit muss das Minimalpolynom von $A$ ein Teiler von [mm] $X^n [/mm] - 1 [mm] \in \IZ[X]$ [/mm] sein.
Also:
* die Eigenwerte sind $n$-te Einheitswurzeln;
* das Minimalpolynom hat Grad [mm] $\le [/mm] 2$ (da es um $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen geht) und teilt [mm] $X^n [/mm] - 1$.
Als Eigenwerte kommen nur Einheitswurzeln in Frage, deren Minimalpolynom Grad [mm] $\le [/mm] 2$ hat. Welche sind dies?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:08 So 08.05.2011 | | Autor: | willy89 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ich habe mir wirklich einige Gedanken darüber gemacht.
Ich habe mich auch daran erinnert, dass es mit den 5ten EInheitwurzeln Probleme gab.
Mein Minimalpolynom ist doch immer gleich X^{N)-1, nach konstruktion oder?
Damit gilt das mit den Einheitswurzeln auch.
Doch wie komme ich jetzt weiter? Warum geht das ab 7 nicht mehr und wo scheitert das genau bei 5...
Schonmal Danke und viele Grüße
willy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 So 08.05.2011 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin
> ich habe mir wirklich einige Gedanken darüber gemacht.
> Ich habe mich auch daran erinnert, dass es mit den 5ten
> EInheitwurzeln Probleme gab.
Das Minimalpolynom einer primitiven 5-ten Einheitswurzel hat Grad 4.
> Mein Minimalpolynom ist doch immer gleich X^{N)-1, nach
> konstruktion oder?
Nein. Das Minimalpolynom ist ein Teiler davon. Es gibt nur kein kleineres $N' < N$, so dass es auch ein Teiler von $X^{N'} - 1$ ist.
> Doch wie komme ich jetzt weiter? Warum geht das ab 7 nicht
> mehr und wo scheitert das genau bei 5...
Weil die einzigen primitiven Einheitswurzeln, deren Minimalpolynom Grad $\le 2$ hat, die 1-, 2-, 3-, 4- und 6-ten sind.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:39 Mo 09.05.2011 | | Autor: | willy89 |
Hallo,
vielen Dank dau, das habe ich mal mit den Beispielen 1,2,3,4 und 6 Ordnung nachgerechnet. Das klappt und die sind alle 2. Grads.
Gibt es eine Möglichkeit wie ich das Beweise? Also, dass es nicht mehr Möglichkeiten gibt?
Viele Grüße
willy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Mo 09.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin willy
> vielen Dank dau, das habe ich mal mit den Beispielen
> 1,2,3,4 und 6 Ordnung nachgerechnet. Das klappt und die
> sind alle 2. Grads.
> Gibt es eine Möglichkeit wie ich das Beweise? Also, dass
> es nicht mehr Möglichkeiten gibt?
Der Grad des Minimalpolynoms einer $n$-ten primitiven Einheitswurzel in [mm] $\IC$ [/mm] ist gleich [mm] $\varphi(n)$, [/mm] wobei [mm] $\varphi$ [/mm] die Eulersche [mm] $\phi$-Funktion [/mm] ist.
Wenn du die Primfaktorzerlegung von $n$ hast, kannst du [mm] $\phi(n)$ [/mm] konkret hinschreiben: ist $n = [mm] \prod_{i=1}^k p_i^{e_i}$, [/mm] dann ist [mm] $\phi(n) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^k (p_i [/mm] - 1) [mm] p_i^{e_i - 1}$. [/mm] Jetzt kannst du untersuchen, fuer welche $p$ und $e$ es sein kann, dass [mm] $\phi(p^e) [/mm] = 1$ bzw. [mm] $\phi(p^e) [/mm] = 2$ ist. Wenn du diese hast, kannst du daraus ableiten, fuer welche $n$ [mm] $\phi(n) \in \{ 1, 2 \}$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Mo 09.05.2011 | | Autor: | willy89 |
Ich habs 
Vielen Dank für deine Geduld - ich bin neu im Bereich der Algebra...
Grüße
willy
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