Ordnung zyklischer untergruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aufgabe 1:
Bestimmen sie die Anzahl aller zyklischen Untergruppen in [mm] S_4 [/mm] und [mm] S_5
[/mm]
Aufgabe 2)
Welche Ordnung kann ein Element der S9 haben? |
Hallo,
Ich sitze an den beiden Aufgaben oben ( dabei sei angemerkt [mm] S_N [/mm] soll die symmetrische Gruppe der Länge n sein) und habe gerade einen Knick in der Optik, wenn man das so nennen will.
Erstmal zur 1:
Ich weiß wie die Struktur der Untergruppen aussieht (zumindest für S4). Ich habs bisher eigentlich nur mit roher gewalt gelöst, in dem ich quasi alle möglichen Permutationen durchgegangen bin, was laut google auch funktioniert hat. Was ich jetzt aber gerne wissen würde ist, wie man das ganze theoretisch argumentieren kann, damit ich mich damit mal an die S5 dransetzen kann.
Die zweite Aufgabe habe ich mir noch nicht angeguckt, wer mir dazu einen Tipp geben möchte, dem wär ich dankbar, ich würds aber auch erstmal selber versuchen und bei Bedarf nochmal posten :)
Danke
Liebe Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Do 30.10.2014 | | Autor: | MacMath |
> Aufgabe 1:
>
> Bestimmen sie die Anzahl aller zyklischen Untergruppen in
> [mm]S_4[/mm] und [mm]S_5[/mm]
>
> Aufgabe 2)
> Welche Ordnung kann ein Element der S9 haben?
> Hallo,
> Ich sitze an den beiden Aufgaben oben ( dabei sei
> angemerkt [mm]S_N[/mm] soll die symmetrische Gruppe der Länge n
> sein) und habe gerade einen Knick in der Optik, wenn man
> das so nennen will.
>
> Erstmal zur 1:
> Ich weiß wie die Struktur der Untergruppen aussieht
> (zumindest für S4). Ich habs bisher eigentlich nur mit
> roher gewalt gelöst, in dem ich quasi alle möglichen
> Permutationen durchgegangen bin, was laut google auch
> funktioniert hat. Was ich jetzt aber gerne wissen würde
> ist, wie man das ganze theoretisch argumentieren kann,
> damit ich mich damit mal an die S5 dransetzen kann.
Okay, kurz dazu: Zyklische Gruppen werden von einem Element erzeugt. Schaue dir doch mal zu jeder Ordnung $k$ die Elemente dieser Ordnung an.
Für $k=1$ ist das recht trivial, da gibts nur die Identität.
Für $k=2$ sind das die Transpositionen. Wie viele gibt es davon? Wie viele *verschiedene* Untergruppen spannen sie auf? Mit der Idee kommst du schnell zum Ziel denke ich ;)
> Die zweite Aufgabe habe ich mir noch nicht angeguckt, wer
> mir dazu einen Tipp geben möchte, dem wär ich dankbar,
> ich würds aber auch erstmal selber versuchen und bei
> Bedarf nochmal posten :)
Nach Lagrange ist die Ordnung jedes Gruppenelements Teiler der Gruppenordnung. Damit fallen schon viele Kandidaten raus, es bleiben aber auch sehr viele drin ;)
Nun lässt sich jedes Element von [mm] $S_9$ [/mm] aber auf eine spezielle Weise als Produkt schreiben. Wenn du - wie ivh gerade vermute - in Köln studierst *g* dann such mal in deinem Skript die Sätze in der Nähe von der Definition des Typs einer Permutation.
Welche Typen sind möglich? Aus dem Typ kannst du die Ordnung des Elements ablesen.
> Danke
> Liebe Grüße
>
Viele Grüße
|
|
|
|
