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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Do 21.02.2008 | | Autor: | bore |
| Aufgabe | [mm] A=1/10\pmat{ -8 & 6 \\ 6 & 8 }
[/mm]
[mm] B=1/3\pmat{ 2 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & -2} [/mm] |
Wie kann ich zeigen, ob eine dieser Matrizen orthogonal ist? Ebenfalls muss ich die Determinanten berechnen.
Tue mich schwer mit dem 1/10 und dem 1/3
Kann mir das jemand erklären?
Danke und Gruss
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Hallo
eine Matrix heißt Orthogonal, wenn gilt das [mm] $A^{T}*A=E$ [/mm] die Einheitsmatrix entsprechender Größe. Jetzt musst du das nachprüfen. Also zum Beispiel für die erste Matrix $ [mm] A=\bruch{1}{10}\pmat{ -8 & 6 \\ 6 & 8 } [/mm] $ ist $ [mm] A^{T}=A [/mm] $ denn A ist symetrisch.
lass dich von den [mm] \bruch{1}{10} [/mm] oder den [mm] \bruch{1}{3} [/mm] nicht abschrecken, die konstanten können bei der Matrizenmultiplikation entweder erst in die Matrizen reingezogen werden oder hinterher also produkt der brüche berücksichtigt werden.
Zur Determinante es gilt. [mm] \det(\alpha*A)=\alpha*\det(A), [/mm] d.h. du kannst die Determinate der Matrix erst ohne den Bruch ausrechnen und dann zum schluss noch mal dein ergebnis mit dem Bruch multiplizieren.
Einen schönen Tach noch und freundliche Grüße
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:50 Do 21.02.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Zur Determinante es gilt. [mm]\det(\alpha*A)=\alpha*\det(A),[/mm]
> d.h. du kannst die Determinate der Matrix erst ohne den
> Bruch ausrechnen und dann zum schluss noch mal dein
> ergebnis mit dem Bruch multiplizieren.
hier muss man etwas aufpassen. für eine $n [mm] \times [/mm] n$-matrix $A [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm] und ein skalar [mm] $\alpha \in [/mm] K$ gilt im allgemeien [mm] $\det (\alpha \cdot [/mm] A) = [mm] \alpha^n \det [/mm] (A)$ - das skalar wird also in $n$-ter potenz herausgezogen.
um zu prüfen, ob eine matrix orthogonal ist, braucht man sich mit der determinante gar nicht auseinander zu setzen. falls $A$ orthogonal, so ergibt sich automatisch [mm] $\det [/mm] A [mm] \in \{1, -1 \}$. [/mm] es genügt aber $A [mm] \cdot A^t [/mm] = [mm] E_n$ [/mm] zu verifizieren.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Do 21.02.2008 | | Autor: | blascowitz |
Danke Danke für die Anmerkung @andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Do 21.02.2008 | | Autor: | Audience |
Vielleicht liege ich falsch, aber ein einfacher Weg um festzustellen, ob eine Matrix orthogonal ist, ist einfach zu schauen ob die Spalten eine ONB bilden d.h. das Skalarprodukt zweier Spalten muss jeweils null ergeben. Ist die Matrix komplex, so ist sie in dem Fall unitär.
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> ein einfacher Weg um
> festzustellen, ob eine Matrix orthogonal ist, ist einfach
> zu schauen ob die Spalten eine ONB bilden d.h. das
> Skalarprodukt zweier Spalten muss jeweils null ergeben
und die Spalten müssen normiert sein.
Gruß v. Angela
. Ist
> die Matrix komplex, so ist sie in dem Fall unitär.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Do 21.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
impliziert Orthogonal normiert, oder wäre das schon "orthonormal".
Weil wir hatten in der Vorlesung auch, dass eine Matrix "Orthogonal" heißt, wenn gilt [mm] AA^t=1, [/mm] aber das gilt ja nur, wenn die Spalten normiert sind auf 1.
Und [mm] AA^t=1 [/mm] gilt ja nur, wenn das ganze auch orthonormal ist, also normiert.
Wo ist also der Unterschied zwischen Orthogonal und Orthonormal, denn ich meine mich daran zu erinnern, dass Gonal nur bedeutet, dass die Vektoren senrkecht aufeinander stehen, und normal dass die Vektoren normiert sind. Aber die Def. dort oben bedeutet ja schon, dass Orthogonal auch Orthogonal ist...?
Ich hoffe, man kann meine Frage verstehen.
LG
Kroni
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Hallo,
bei einer Orthogonalbasis sind die Vektoren paarweise senkrecht zueinander.
bei einer Orthonomnalbasis sind die Vektoren paarweise senkrecht zueinander und normiert.
bei einer Orthogonalmatrix sind die Spalten paarweise orthnormal.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Do 21.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
okay....das war noch eins der letzen Sachen, die mich teilweise verwirrt haben...Danke für deine Antwort=)
LG
Kroni
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