Orthogonale Ebene berechnen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Nerix |
| Aufgabe | | Gesucht ist die ortogonale Ebene zu der Ursprungsgerade [mm] <\pmat{ 2 \\ 4 \\ 6 }> [/mm] im euklidischen Raum! |
Hallo,
kann mir jemand sagen,wie ich des berechnen soll???
Danke,gruß
Nerix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Mo 14.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gesucht ist die ortogonale Ebene zu der Ursprungsgerade
> [mm]<\pmat{ 2 \\ 4 \\ 6 }>[/mm] im euklidischen Raum!
"die" orthogonale Ebene ??? Von der Sorte gibt viele !!
Besorget Dir zwei linear unabhängige Vektoren u und v, die senkrecht auf [mm] \pmat{ 2 \\ 4 \\ 6 } [/mm] stehen.
Eine Ebene , die das Gewünschte leistet ist zum Beispiel die, die durch den Ursprung geht und die Richtungsvektoren u und v hat
FRED
> Hallo,
> kann mir jemand sagen,wie ich des berechnen soll???
>
> Danke,gruß
> Nerix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Nerix |
hallo,
ok,nach reiflichem überlegen,seh ich ein,dass es da viele gibt. Wenn ich zwei unabhängige Vektoren aus dem [mm] R^3 [/mm] nehme und dann mit dem oben angegebenen vektor das gram-schmidt'scho Ortogonalisierungsverfahren durchführe,sollte ich zum Ziel kommen,oder? Aber dann hab ich ja nur die ONB für "diese eine Ebene".... theoretisch müsst ich des mit sehr vielen u und v machen, um auf alle Ebenen zu kommen.(unendlichviele) Kann ich ned irgendwie von einer der so berechneten Ebenen auf die anderen schließen??(Müssten ja dann parallel verlaufen??)
Gruß
Nerix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mo 14.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du die Normalendarstellung der ebene nnimmst, musst du nicht rechnen. alle gesuchten Ebenen sind parallel.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Nerix |
hallo,
normalendarstellung der Ebene???hm,weiß ned was du damit meinst!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nerix!
$$E \ : \ [mm] \vec{n}*\left(\vec{x}-\vec{p}\right) [/mm] \ = \ 0$$
bzw.
$$E \ : \ [mm] \vec{n}*\vec{x}-d [/mm] \ = \ 0$$
nennt man die Normalenform der Ebene. Dabei ist [mm] $\vec{n}$ [/mm] ein Normalenvektor auf die betrachtete Ebene und [mm] $\vec{p}$ [/mm] ein Ortsvektor eines Punktes in der Ebene.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Nerix |
hallo,
ah,ok,kannte ich noch nicht. Aber wie soll ich des in meiner Aufgabe machen,da hab ich ja keine Ebene(nur ne Gerade aus dem Nullvektor und dem in der Aufgabenstellung erwähnten Vektor)!Oder seh ich des falsch??
Wenn ja,wüsste ich ned was ich einsetzten soll, denn dann krieg ich ja d als unbekannte,oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Wredi |
n ist ein normalenvektor heißt, dass der senkrecht zur ebene steht, das heißt, dass alle vektoren in der Ebene senkrecht zu Normalenvektor stehen.
p ist der orts- oder stützvektor der Ebene und x ist einfach nur die Variable für die Ebene.
MfG
Wredi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Nerix |
hallo,
also konkret in meinem fall wäre dann:
E: [mm] \pmat{ n1 \\ n2 \\ n3 }* (\vec{x} [/mm] - [mm] \pmat{ 2\\ 4 \\ 6 }) [/mm] = 0
wobei [mm] \pmat{ n1 \\ n2 \\ n3 } [/mm] der Vektor ist,der senkrecht auf der Ursprungsgerade steht,oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> hallo,
> also konkret in meinem fall wäre dann:
> E: [mm]\pmat{ n1 \\ n2 \\ n3 }* (\vec{x}[/mm] - [mm]\pmat{ 2\\ 4 \\ 6 })[/mm]
> = 0
ja
[mm] \pmat{2\\4\\6} [/mm] kannst du als Stützvektor nehmen, macht aber wenig sinn, wenn du ja eine URSPRUNGSgerade hast.
> wobei [mm]\pmat{ n1 \\ n2 \\ n3 }[/mm] der Vektor ist,der senkrecht
> auf der Ursprungsgerade steht,oder???
nein, warum soll der normalenvektor senrecht zur gerade stehen, wenn das so wäre, würde die gesuchte Ebene die Gerade enthalten, aber die EBene soll ja auf der geraden senkrecht stehen.
MfG Wredi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Nerix |
hallo,
was ist denn ein Normalenvektor??hab keine Ahnung,weil ich die Gleichung zum ersten mal sehe. Wie sollte des denn dann richtigerweise in meinem fall lauten?
Gruß
Nerix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> hallo,
> was ist denn ein Normalenvektor??
siehe voherige beiträge: ein Normalenvektor ist dadurch definiert, dass er zu allen Vektoren in der ebene orthogonal ist.
> hab keine Ahnung,weil ich
> die Gleichung zum ersten mal sehe. Wie sollte des denn dann
> richtigerweise in meinem fall lauten?
ochmal im Klartext: du sollst eine Ebene senkrecht zu einer geraden finden. und der normalenvektor ist senkrecht zur Ebene, was schlussfolgerst du daraus?
der stützvektor kann doch bei einer ursprungsgerade der Nullvektor sein.
> Gruß
> Nerix
MfG Wredi
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Hallo,
ich hab' irgendwie ein schlechtes Gefühl...
Hast Du die Aufgabe im Originaltext gepostet?
(Falls nein: wie lautet er?)
Ich bin mir nämlich nicht sehr sicher, ob es hier um Orthogonalität von Untervektorräumen geht, oder mehr geometrisch darum, welche Ebenen von der Geraden im rechten Winkel geschnitten werden.
Aufschluß könnten hier die gerade aktuellen Definitionen geben.
> Wenn ich zwei unabhängige Vektoren aus dem [mm]R^3[/mm] nehme
> und dann mit dem oben angegebenen vektor das
> gram-schmidt'scho Ortogonalisierungsverfahren
> durchführe,sollte ich zum Ziel kommen,oder?
Ja, aber das ist doch megaumständlich! Die beiden Vektoren, die Du finden möchtest, müssen doch auch gar nicht zueinander othogonal sein.
Du suchst also zwei unabhängige Vektoren, die zu [mm] \vektor{2\\4\\6} [/mm] orthogonal sind.
Die findet man doch durch bloßes Draufgucken, z.B. [mm] \vektor{0\\-6\\4} [/mm] und [mm] \vektor{6\\0\\-2}.
[/mm]
Die beiden spannen eine Ebene auf, nämlich [mm] E:=<\vektor{0\\-6\\4},\vektor{6\\0\\-2}>.
[/mm]
Falls es in Deiner Aufgabe (wider meine persönlichen Erwartungen) um affine Ebenen geht, kannst Du daraus durch Parallelverschiebung alle zur Geraden senkrechten Ebenen bekommen.
Gruß v. Angela
> Aber dann hab
> ich ja nur die ONB für "diese eine Ebene".... theoretisch
> müsst ich des mit sehr vielen u und v machen, um auf alle
> Ebenen zu kommen.(unendlichviele) Kann ich ned irgendwie
> von einer der so berechneten Ebenen auf die anderen
> schließen??(Müssten ja dann parallel verlaufen??)
>
> Gruß
> Nerix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Di 15.06.2010 | | Autor: | Nerix |
| Aufgabe | | Sei U(besagte Ursprungsgerade) im euklidischen Raum. geben sie eine Übersicht über alle zu U othogonalen UVRe der euklidischen Ebene! |
Also,nochmal der Orginaltext zu Aufgabe.(sie Anfang dieses Posts)
Ok, ich habe jetzt verstanden, wie ich auf EINE orthogonale Ebene komme, aber ich soll ja ne Übersicht Über alle geben.Kann ich einfach ein [mm] \lambda [/mm] vor die Ebene [mm] <\pmat{ 0 \\ -6 \\ 4 } [/mm] , [mm] \pmat{ 6 \\ 0 \\ -2 }> [/mm] schreiben??? Also müsste ich ne Allgemeinform finden, denn Lösung muss ja sein, alle Ebenen die zu U orthogonal sind und zusätzlich deren UVRe.
Gruß
Nerix
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> Sei U(besagte Ursprungsgerade) im euklidischen Raum. geben
> sie eine Übersicht über alle zu U othogonalen UVRe der
> euklidischen Ebene!
Hallo,
aha, dacht' ich's mir doch... - aber soll es nicht eher "... des euklidischen Raumes!" heißen? Ich gehe mal davon aus.
Es geht hier also darum, daß Du alle zu [mm] U=<\vektor{2\\4\\6}> [/mm] orthogonalen Unterräume des [mm] \IR^3 [/mm] auflistest.
Infrage kommen Unterräume der Dimensionen 0,1 und 2.
> Ok, ich habe jetzt verstanden, wie ich auf EINE
> orthogonale Ebene komme, aber ich soll ja ne Übersicht
> Über alle geben.
Du wirst keine mehr finden:
es sind nämlich nur Ebenen, die durch den Ursprung gehen, Untervektorräume des [mm] \IR^3, [/mm] und die einzige, die es gibt, haben wir bereits gefunden.
Oder hast Du eine weitere Ebene zu bieten? Welche?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Di 15.06.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
ah stimmt, die orthogonale Ebene muss ja durch den Ursprung gehn,um als UVR des [mm] R^3 [/mm] zu gelten....ok!Dann hab ich also als Antwort die von den beiden zu U orthogonalen Vektoren aufgespannte Ebene, jeder Unterraum davon und ner Nullvektor!!
Danke Angela
Nerix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mo 14.06.2010 | | Autor: | PeterXX |
Die für mich einfachste Lösung ist wie folgt:
Es wird von einer Ursprungsgeraden gesprochen [mm]\begin{pmatrix} 2\\4\\6\end{pmatrix} [/mm].
Dies ist für mich eine Vektorangabe. Aber ich nehme an, es soll eine Gerade sein. Dieser Vektor/Gerade ist auch der Normalenvektor aller Ebenen, die senkrecht zu der Geraden sich befinden. Damit läßt sich leicht die allgemeine Form der Ebenengleichung finden:
ax +by +cz = d
d. h. 2x +4y +6z = d
d Element von R, denn es gibt unendlich viele Ebenen.
Gruß PeterXX
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