Orthogonale Projektion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:17 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Mudi |
| Aufgabe | Es sei V ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt [mm] \left\langle , \right\rangle [/mm] , und [mm] f:V\rightarrow [/mm] V ein linearer Endomorphismus mit f²=f. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) [mm] \left\langle f(v),v'\right\rangle =\left\langle v,f(v')\right\ranlge [/mm] für alle v,v' [mm] \in [/mm] V
(ii) Bild f ist das orthogonale Komplement von Kern f |
Mein problem ist dass ich beide Punkte einzeln beweisen kann aber nicht [mm] (i)\gdw(ii)
[/mm]
zu (i): [mm] \left\langle f(v),v'\right\rangle =\left\langle f(f(v)),f(v')\right\rangle =\left\langle f(v),f(v')\right\rangle =\left\langle v,v'\right\rangle =\left\langle f(v),f(v')\right\rangle =\left\langle f(v),f(f(v))\right\rangle =\left\langle v,f(v')\right\rangle
[/mm]
zu (ii): ich darf vorraussetzen dass V=ker f [mm] \oplus [/mm] im f
ich weiß ausserdem dass für [mm] W\subset [/mm] V folgendes gilt:
V=W [mm] \oplus [/mm] W*, wobei W* das orthogonale komplement zu W in V ist.
Daraus folgt (ii)
nun habe ich beide Teile gezeigt. Reicht das für äquivalenz?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich glaube nicht, dass dein Beweis zu (i) richtig ist. Voraussetzung war [mm] f^2=f [/mm] aber nicht [mm]f(v)=v[/mm], daher ist die erste Gleichung von links bzw. rechts wohl keine.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:27 Do 31.01.2008 | | Autor: | Mudi |
Da hast du wohl recht. wär ja doch recht einfach gewesen.
Ich hab mir jetzt noch weitere gedanken gemacht:
Sei v [mm] \in [/mm] ker f dann folgt dass f(v) [mm] \in [/mm] ker f da der 0-vektor [mm] \in [/mm] ker f
Sei v [mm] \in [/mm] im f dann folgt auch dass f(v) [mm] \in [/mm] im f da f(f(v))=f(v)
Sei nun (ii) gegeben. Ist v [mm] \in [/mm] ker f und v' [mm] \in [/mm] im f dann gilt (i) wegen der orthogonalität. Dasselbe gilt wenn v,v' [mm] \in [/mm] ker f da jeder Vektor auf dem 0-Vektor senkrecht steht. Nur fehlt mir der Beweis dass [mm] \left\langle f(v),v'\right\rangle =\left\langle v,f(v')\right\rangle [/mm] wenn v,v' [mm] \in [/mm] im f.
Umgekehrt kann ich doch sagen dass ich wegen f²=f eine projektion habe. Also gilt doch [mm] \left\langle v-f(v),v'\right\rangle =\left\langle v,v'-f(v')\right\rangle [/mm] =0
Also auch [mm] \left\langle v,v'\right\rangle -\left\langle f(v),v'\right\rangle =0=\left\langle v,v'\right\rangle -\left\langle v,f(v')\right\rangle
[/mm]
Damit folgt dass [mm] \left\langle v,v'\right\rangle =\left\langle f(v),v'\right\rangle =\left\langle v,f(v')\right\rangle
[/mm]
Daraus wird ersichtlich dass ker f das orthogonale komplement von im f ist.
Stimmt die beweisführung jetzt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 31.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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