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| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gegeben seien die Vektoren
u = (1, 2, 3), v = (−1, 2, 1), w = (B, 2, 1).
(a) Fürwelche Werte B sind die drei Vektoren u, v, w linear abhängig?
(b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des von den Vektoren u und v aufgespannten
Untervektorraumes U.
(c) Projezieren Sie den Vektor (2,−1, 1) orthogonal auf den Untervektorraum U. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle,
Ich habe ein paar Fragen zu diesem Beispiel.
(a) sollte ich noch geschafft haben, weiß jedoch nicht ob es richtig ist.
Als Ansatz hab ich:
[mm] u*\lambda_{1}+v*\lambda_{2}+w*\lambda_{3}=0
[/mm]
Das ganze [mm] (u*\lambda_{1}+v*\lambda_{2}+w*\lambda_{3}) [/mm] als eine Matrix geschrieben und die Determinante berechnet. Dann Null gesetzt und für B= -1 rausbekommen.
Also für B=-1 sind die Vektoren linear abhängig.
Frage eins: stimmt dass?
Nun zu (b):
Ich brauche die Orthonormalbasis zu dem Untervektorraum U. Irgendwie hört sich das verdammt nach Gram- Schmidt an.
Frage 2:
Verständnisshalber: sind die 2 aufspannenten Vektoren U und v eine Basis? Muss ich die nicht erst Orthogonalisieren?
Kann ich dass Orthogonalisierungsverfahren nehmen und dann die 2 herausbekommen Vektoren normalisieren? Das müsste doch dann meine Basis sein? oder?
Oder einfach nur das Orthonormalisierungsverfahren anwenden?
(c)
Hmm ja.....
Da hab ich nicht viel Schimmer von.
Ich stell mir das so vor: Ich muss den Vektor aus dem Raum in den Untervektorraum U bringen? Nur wie?
Wäre echt dankbar wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
Liebe Grüsse
Patrik
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Für (a) habe ich auch raus: B=-1
Allerdings habe ich das so gelöst:
2x+2y=2
3x+y=1
Das sind 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Da kommt dann raus:
x=0 und y=1
Das setze ich dann ein:
0*1+1*(-1)=B , also B=-1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 Do 03.04.2008 | | Autor: | DaMenge |
Hallo zusammen,
> Für (a) habe ich auch raus: B=-1
>
> Allerdings habe ich das so gelöst:
> 2x+2y=2
> 3x+y=1
Vorsicht !
Du versuchst hier die Gleichung $x*u + y*v = w$ zu loesen und dadurch lineare Unabhaengigkeit zu beweisen - dies funktioniert aber nur, wenn du schon weisst, dass u und v linear unabhaengig sind !
Um es nochmal deutlicher zu schreiben: Wenn drei Vektoren linear abhaengig sind, kann man einen Vektor als linear Kombination der anderen schreiben - ABER man weiss nicht von vornherein welchen !
Also diese Argumentation wird erst vollstaendig, wenn man "sieht" dass u und v l.u. sind.
Den Beweis im Ursprungs-post finde ich persoenlich jedoch schoener, weil er allgemein anwendbar ist (und ja, er ist richtig^^)
viele Gruesse,
DaMenge
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> Du versuchst hier die Gleichung [mm]x*u + y*v = w[/mm] zu loesen
> und dadurch lineare Unabhaengigkeit zu beweisen - dies
> funktioniert aber nur, wenn du schon weisst, dass u und v
> linear unabhaengig sind !
So ganz verstehe ich nicht, worauf du hinaus willst. Die Frage lautete doch: " (a) Für welche Werte B sind die drei Vektoren u, v, w linear abhängig?"
Genau dieser Wert für B (nämlich -1) wurde doch errechnet. Für jeden anderen Wert wären die drei Vektoren linear unabhängig.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Do 03.04.2008 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
>
> So ganz verstehe ich nicht, worauf du hinaus willst. Die
> Frage lautete doch: " (a) Für welche Werte B sind die drei
> Vektoren u, v, w linear abhängig?"
Eigentlich wollte ich nur darauf hinweisen, dass die Argumentation nicht ganz vollständig ist, es fehlte nämlich noch am Anfang zu sagen, dass die beiden Vektoren u und v offensichtlich linear unabhängig sind - erst dann klappt dein Ansatz.
Was wäre nämlich, wenn dort nicht drei, sondern sagen wir 20 Vektoren (mit 20 Dimensionen) gestanden hätten und nur im letzten kommt an irgendeiner Stelle das B vor und die Frage lautet: für welches B sind die 20 Vektoren linear abhängig ?
Dann reicht es plötzlich nicht mehr einfach nur die Gleichsetzung zu machen, denn man sieht nicht, ob die 19 Vektoren vorher schon linear abhängig sind oder nicht !
(außer sie sind trivial gewählt)
> Genau dieser Wert für B (nämlich -1) wurde doch errechnet.
> Für jeden anderen Wert wären die drei Vektoren linear
> unabhängig.
Ja, die Rechnung stimmt auch, aber der letzte Satz wird erst richtig, wenn man die lineare Unabhängigkeit von u und v betrachtet.
Es sollte aber wirklich nur eine Ergänzung sein, nichts mehr
viele Grüße,
DaMenge
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Hi,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Gegeben seien die Vektoren
> u = (1, 2, 3), v = (−1, 2, 1), w = (B, 2, 1).
> (a) Fürwelche Werte B sind die drei Vektoren u, v, w
> linear abhängig?
> (b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des von den
> Vektoren u und v aufgespannten
> Untervektorraumes U.
> (c) Projezieren Sie den Vektor (2,−1, 1) orthogonal
> auf den Untervektorraum U.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
> Hallo an alle,
>
> Ich habe ein paar Fragen zu diesem Beispiel.
> (a) sollte ich noch geschafft haben, weiß jedoch nicht ob
> es richtig ist.
> Als Ansatz hab ich:
> [mm]u*\lambda_{1}+v*\lambda_{2}+w*\lambda_{3}=0[/mm]
> Das ganze [mm](u*\lambda_{1}+v*\lambda_{2}+w*\lambda_{3})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
als
> eine Matrix geschrieben und die Determinante berechnet.
> Dann Null gesetzt und für B= -1 rausbekommen.
> Also für B=-1 sind die Vektoren linear abhängig.
> Frage eins: stimmt dass?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun zu (b):
> Ich brauche die Orthonormalbasis zu dem Untervektorraum U.
> Irgendwie hört sich das verdammt nach Gram- Schmidt an.
, Gram-Schmidt ist das richtige Stichwort.
> Frage 2:
> Verständnisshalber: sind die 2 aufspannenten Vektoren U
> und v eine Basis? Muss ich die nicht erst
> Orthogonalisieren?
>
Sind $u, v$ linear unabhängig, dann spannen sie den Unterraum $U$, und bilden auch die Basis von $U$. Sie müssen keinesfalls orthonormal sein, aber an manchen Stellen sind Orthonormalbasen von Vorteil.
> Kann ich dass Orthogonalisierungsverfahren nehmen und dann
> die 2 herausbekommen Vektoren normalisieren? Das müsste
> doch dann meine Basis sein? oder?
> Oder einfach nur das Orthonormalisierungsverfahren
> anwenden?
>
Das Verfaren auf $(u,v)$ anwenden, also
1. $u$ normieren, du bekommst einen neuen Vektor z.B. $e_1$.
2. Ergänze $(e_1)$ zu einer Orthonormalbasis von $U$, also setze
$e_2 = \bruch{v - \left\langle v,e_1 \right\rangle e_1}{\left|| v - \left\langle v,e_1 \right\rangle e_1 \right||}$.
> (c)
> Hmm ja.....
> Da hab ich nicht viel Schimmer von.
> Ich stell mir das so vor: Ich muss den Vektor aus dem Raum
> in den Untervektorraum U bringen? Nur wie?
>
Mit der berechneten Orthonormalbasis $(e_1,e_2)$ musst den Vektor $z = (2,-1,1)$ auf den Unterraum projezieren, d.h. die Komponenete von $z$ finden, die im Unterraum $U$ liegt. Anders gesagt, betrachte $z \in V$ als eindeutig bestimmte Summe $z = x + y$, mit $x \in U$ und $y \in U^{\perp}$.
Das ist dann:
$x = P_{U}z = \left\langle z,e_1 \right\rangle e_1}+\left\langle z,e_2 \right\rangle e_2}$.
> Wäre echt dankbar wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
>
> Liebe Grüsse
> Patrik
Gruss,
logarithmus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Do 03.04.2008 | | Autor: | biomedtech |
Danke.
Jetzt ists ein Bisschen klarer geworden
Grüsse
Patrik
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