Orthogonalität < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Jule_ |
Eine Gerade G und eine Ebene E sind zueinander orthogonal, wenn ein Richtungsvektor der Geraden zu den Spannungvektoren orthogonal ist.
Wie kann ich das anhand der Gleichungen sehen?
Kann ich sagen, dass wenn der Richtungsvektor und mind. ein Spannvektor Velfache voneinander sind ist die gerade zur Ebene orthogonal, oder giöt das nur für den Normalenvektor und den Richtungsvektor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Gerade und Ebene sind orthogonal, wenn der Richtungsvektor der Geraden ein Vielfaches vom Normalenvektor der Ebene ist!
Wenn du die Ebene in Parameterform gegen hast, muss das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren (was ja ein Normalvektor der Ebene ist) ein Vielfaches des Richtungsvektors der geraden sein.
Wenn du das Vektorprodukt noch nicht hattest, muss das Skalarprodukt aus Richtungsvektor und dem 1. Spannvektor 0 sein und das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor und dem 2. Spannvektor auch.
Wenn der Richtungsvektor der Geraden ein Vielfaches eines Spannvektors ist, dann sind Gerade und Ebene eher parallel!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Jule_ |
> Hallo!
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> Gerade und Ebene sind orthogonal, wenn der Richtungsvektor
> der Geraden ein Vielfaches vom Normalenvektor der Ebene
> ist!
>
> Wenn du die Ebene in Parameterform gegen hast, muss das
> Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren (was ja ein
> Normalvektor der Ebene ist) ein Vielfaches des
> Richtungsvektors der geraden sein.
> Wenn du das Vektorprodukt noch nicht hattest, muss das
> Skalarprodukt aus Richtungsvektor und dem 1. Spannvektor 0
> sein und das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor und dem
> 2. Spannvektor auch.
>
> Wenn der Richtungsvektor der Geraden ein Vielfaches eines
> Spannvektors ist, dann sind Gerade und Ebene eher
> parallel!
>
> Teufel
Ich habe die Gleichung der Ebene in Koordinatenform.
Z.B
[mm] g:\vec{x}=\vektor{-2 \\ 0 \\ 1}+t*\vektor{3 \\ 0 \\ -5}
[/mm]
E: [mm] 3x_2=-10 [/mm]
dann ist [mm] \vec{n}=\vektor{0 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
laut Lsg. ist g [mm] \perp [/mm] E, aber der Normalenvektor ist doch kein Vielfaches vom Richtungsvektor?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Jule_ |
> Hallo Jule!
>
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> Wenn Gerade und Ebene senkrecht aufeinander stehen soll,
> dürfen die beiden Vektoren auch nicht kollinear sein (=
> Vielfaches vom anderen).
Ich dachte ich kann Orthogonalität daran erkenne, dass der Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Geraden Vielfaches voneinander sind. So steht es zumindest im Buch???
>
> Aber berechne mal das  Skalarprodukt von Richtungsvektor
> der Gerade und Normalenvektor der Ebene.
>
> Da diese beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen, gilt
> dies auch für Gerade - Ebene.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
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> > Hallo Jule!
> >
Hey!!
> >
> > Wenn Gerade und Ebene senkrecht aufeinander stehen soll,
> > dürfen die beiden Vektoren auch nicht kollinear sein (=
> > Vielfaches vom anderen).
>
> Ich dachte ich kann Orthogonalität daran erkenne, dass der
> Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Geraden
> Vielfaches voneinander sind. So steht es zumindest im
> Buch???
So ist es auch richtig.
Da der Normalenvektor und der Richtungsvektor der Geraden bei deinem Beispiel aber nicht linear abhängig sind, stehen Gerade und Ebene auch nicht senkrecht aufeinander!
Da hier aber das Skalarprodukt dieser beiden Vekotren genau Null ergibt, ist die Gerade parallel zu der Ebene.
> >
> > Aber berechne mal das Skalarprodukt von Richtungsvektor
> > der Gerade und Normalenvektor der Ebene.
> >
> > Da diese beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen, gilt
> > dies auch für Gerade - Ebene.
> >
> >
> > Gruß
> > Loddar
> >
>
Grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jule!
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Da scheint mir irgendwie die Maisonne zu Kopf gestiegen zu sein. Ich habe den Blödsinn von oben mal korrigiert!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Jule_ |
Ich bin jetzt doch ein wenig verwirrt. :-( Dachte gerade ich hätte es kapiert!!
Eine Gerade ist doch auch orthogonal zu einer Ebene, wenn der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zu den Spannungsverktoren ist.
Wie kann ich das berechnen. Ich dachte das ginge über das Skalarprodukt??
Im Lösungsbuch steht für diese Aufgabe als Ergebnis, dass g [mm] \perp [/mm] E
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> Eine Gerade ist doch auch orthogonal zu einer Ebene, wenn
> der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zu den
> Spannungsverktoren ist.
Hallo,
ja.
Oder Du schaust den Normalenvektor der Ebene an. Ist er parallel zum Richtungvektor der Geraden, sind Gerade und Ebene orthogonal.
>
> Wie kann ich das berechnen. Ich dachte das ginge über das
> Skalarprodukt??
Kannst Du machen. Wenn [mm] \vec{r_1} [/mm] und [mm] \vec{r_2} [/mm] die Richtungsvektoren der Ebene sind und das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor der Geraden beidemal Null ergibt, ist die Gerade senkrecht zur Ebene.
Du kannst, wenn Ihr's hattet, auch das Kreuzprodukt [mm] \vec{r_1} [/mm] x [mm] \vec{r_2} [/mm] berechnen, alsoeinen Normalenvektor, und gucken, ob er parallel zum Richtungsvektor der Geraden ist.
>
> Im Lösungsbuch steht für diese Aufgabe als Ergebnis, dass g
> [mm]\perp[/mm] E
Das ist falsch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Jule_ |
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> > Eine Gerade ist doch auch orthogonal zu einer Ebene, wenn
> > der Richtungsvektor der Gerade orthogonal zu den
> > Spannungsverktoren ist.
>
> Hallo,
>
> ja.
>
> Oder Du schaust den Normalenvektor der Ebene an. Ist er
> parallel zum Richtungvektor der Geraden, sind Gerade und
> Ebene orthogonal.
>
> >
> > Wie kann ich das berechnen. Ich dachte das ginge über das
> > Skalarprodukt??
>
> Kannst Du machen. Wenn [mm]\vec{r_1}[/mm] und [mm]\vec{r_2}[/mm] die
> Richtungsvektoren der Ebene sind und das Skalarprodukt mit
> dem Richtungsvektor der Geraden beidemal Null ergibt, ist
> die Gerade senkrecht zur Ebene.
Danke, so hatte ich es mir gedacht.
>
> Du kannst, wenn Ihr's hattet, auch das Kreuzprodukt
> [mm]\vec{r_1}[/mm] x [mm]\vec{r_2}[/mm] berechnen, alsoeinen Normalenvektor,
> und gucken, ob er parallel zum Richtungsvektor der Geraden
> ist.
Hatten wir noch nicht.
>
>
> >
> > Im Lösungsbuch steht für diese Aufgabe als Ergebnis, dass g
> > [mm]\perp[/mm] E
>
> Das ist falsch.
Ist nicht das erste mal 
d.h. wenn ich die Ebenengleichung in Koordinatenform habe, schaue ich nur ob der Normalenvektor ein Vielfaches des Richtungsvektors ist um auf Orthogonalität zu prüfen, richtig?
>
> Gruß v. Angela
>
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> > > Im Lösungsbuch steht für diese Aufgabe als Ergebnis, dass g
> > > [mm]\perp[/mm] E
> >
> > Das ist falsch.
>
> Ist nicht das erste mal
Hallo,
das war in meinem LA lösungsbuch vor 30 Jahren auch so...
>
> d.h. wenn ich die Ebenengleichung in Koordinatenform habe,
> schaue ich nur ob der Normalenvektor ein Vielfaches des
> Richtungsvektors ist um auf Orthogonalität zu prüfen,
> richtig?
Richtig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Jule_ |
1. Zwei Geraden sind zueinander orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren [mm] \vec{t} [/mm] orthogonal sind:
=> [mm] \vec{t_1} [/mm] * [mm] \vec{t_2}= [/mm] 0
2. Eine Gerade und eine Ebene sind zueinander orthogonal, wenn der Richtungsvektor [mm] \vec{t} [/mm] der Geraden zu den Spannvektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] der Ebene orthogonal ist:
.
=> [mm] \vec{t} [/mm] * [mm] \vec{u}= [/mm] 0 und [mm] \vec{t} [/mm] * [mm] \vec{v}= [/mm] 0
oder
[mm] \vec{n} [/mm] Vielfaches von [mm] \vec{t}
[/mm]
3. Zwei Ebenen sind zueinander orthogonal, wenn ihre Normalenvektoren [mm] \vec{n} [/mm] orthogonal sind:
.
=> [mm] \vec{n_1} [/mm] * [mm] \vec{n_2} [/mm] = 0
Ist das so richtig zusammengefasst?
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
