Orthogonalität < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Do 12.06.2008 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | 3. Seien V ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt < , > und V, V K-lineare Unterräume mit
(1) V = V [mm] \oplus [/mm] V
(genauer, die lineare Abbildung V [mm] \oplus [/mm] V -> V, (a,b) -> a+b, sei bijektiv). Weiter sei die Zerlegung 1 orthogonal. Zeigen sie, die Einschränkung
V x V -> K, (a,b) -> <a,b>, und V x V -> K, (a,b) -> <a,b>,
des Skalarprodukts auf die direkten Summanden sind Skalarprodukte. |
Ok ich habe gegeben, dass
V = V' [mm] \oplus [/mm] V'' orhogonal, d.h. <v',v''> = 0 für alle v' [mm] \in [/mm] V' , v'' [mm] \in [/mm] V''
Skalarprodukt heißt: symmetrische, nicht entartete Billinearform =>
I b(x,y)=b(y,x)
II rang A = n
III [mm] b(v,\lambda'w'+\lambda''w'')=\lambda'b(v,w')+\lambda''b(v,w'')
[/mm]
Wenn ich die Aufgabenstellung richtig lese muss ich Bedingung I-III nachweisen.
Ich versuchs vorläufig mal mit I
I Sei f: V' x V' -> K, (a,b) -> <a,b>
[mm] f(a,b)==\summe_{i=1}^{n} (a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n})=\summe_{i=1}^{n} (b_{1}a_{1}+...+b_{n}a_{n})==f(b,a)
[/mm]
Wäre das bis dahin erstmal richtig oder habe ich mal wieder Brei im Kopf?
Danke für die Mithilfe schonmal im Vorraus, die Maxi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Kyle |
Hallo Maxi,
leider ist Dein Ansatz noch nicht ganz richtig, da Du Dich nicht auf das Standardskalarprodukt beschränken kannst. Außerdem steht in der Aufgabenstellung nichts davon, daß es sich um einen endlich-dimensionalen Vektorraum handelt, ich weiß aber nicht, ob ihr vielleicht implizit davon ausgehen sollt.
Um die Aufgabe zu lösen, musst Du die Eigenschaften (I)-(III) für Dein ursprüngliches Skalarprodukt ausnutzen und diese dann für die Einschränkungen zeigen.
Hast Du zum Beispiel zwei Vektoren x und y aus V', so gilt b(x,y)=b(y,x) automatisch, da es sich um zwei Vektoren aus dem größeren Vektorraum handelt.
Der Trick ist dann, daß Du für die anderen Eigenschaften beliebige Vektoren aus V als Summe von Vektoren in V' und V'' schreibst und dann weißt, daß wegen der Orthogonalität das Skalarprodukt eines Vektors in V' und eines Vektors in V'' immer 0 ist.
Sollte das noch nicht reichen, frag ruhig noch mehr,
Gruß,
kyle
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