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| Aufgabe | Hi, ich habe folgende Aufgabe
Sei V ein (beliebig dimensionaler) Vektorraum mit innerem Produkt über [mm] \IR. [/mm] Beweise die
folgenden Aussagen.
Falls M ein Teilraum von V ist, dann gilt$ M [mm] \subseteq (M^{T})^{T}$
[/mm]
Ich weiß leider nicht wie ich das Symbol für Orthogonalität einfüge. |
ok, wir haben Orthogonalität so definiert.
$M' = [mm] \{v \in V∣=0 \forall m\in M\} [/mm] $
ok aber was heißt dies nun, wenn ich nochmal die Orthogonalität suche?
Bzw hätte ich danach versucht die Unterraum Kriterien nachzuweise also,
1) ob der Nullvektor enthalten ist.
2) abgeschlossen bezüglich der Addition
3) abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation
bin für jeden Rat dankbar
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Mo 08.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi, ich habe folgende Aufgabe
>
> Sei V ein (beliebig dimensionaler) Vektorraum mit innerem
> Produkt über [mm]\IR.[/mm] Beweise die
> folgenden Aussagen.
> Falls M ein Teilraum von V ist, dann gilt[mm] M \subseteq (M^{T})^{T}[/mm]
>
> Ich weiß leider nicht wie ich das Symbol für
> Orthogonalität einfüge.
So: [mm] M^{\perp} [/mm] Klick mal drauf.
> ok, wir haben Orthogonalität so definiert.
>
> [mm]M' = \{v \in V∣=0 \forall m\in M\}[/mm]
>
> ok aber was heißt dies nun, wenn ich nochmal die
> Orthogonalität suche?
Wir nehmen uns ein x [mm] \in [/mm] M her, und müssen zeigen: x [mm] \in (M^{\perp})^{\perp}.
[/mm]
Das ist aber, mit Verlaub , fast trivial, denn
x [mm] \in (M^{\perp})^{\perp} \gdw [/mm] <x,v> =0 für alle v [mm] \in M^{\perp}
[/mm]
Da x [mm] \in [/mm] M ist, gilt natürlich <x,v> =0 für alle v [mm] \in M^{\perp}
[/mm]
FRED
>
> Bzw hätte ich danach versucht die Unterraum Kriterien
> nachzuweise also,
>
> 1) ob der Nullvektor enthalten ist.
>
> 2) abgeschlossen bezüglich der Addition
>
> 3) abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation
>
>
> bin für jeden Rat dankbar
>
> mfg
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> Wir nehmen uns ein x [mm]\in[/mm] M her, und müssen zeigen: x [mm]\in (M^{\perp})^{\perp}.[/mm]
Heißt dies, wenn ich ein x in [mm] (M^{\perp})^{\perp} [/mm] finde welches auch in M enthalten ist, dann ist M ein Teilraum von [mm] (M^{\perp})^{\perp}. [/mm] Also ich müsste nicht nachprüfen ob es sich überhaupt um einen Teilraum handelt?
>
> Das ist aber, mit Verlaub , fast trivial, denn
>
> x [mm]\in (M^{\perp})^{\perp} \gdw[/mm] <x,v> =0 für alle v [mm]\in M^{\perp}[/mm]
Wieso gilt hier " für alle v [mm] \in M^{\perp}" [/mm] und nicht " für alle v [mm] \in (M^{\perp})^{\perp}"
[/mm]
>
> Da x [mm]\in[/mm] M ist, gilt natürlich <x,v> =0 für alle v [mm]\in M^{\perp}[/mm]
ok, hätte dazu nämlich noch einen b) Teil
Für alle Teilräume [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] von V gilt [mm] $(M_1 +M_2)^{\perp} [/mm] = [mm] M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp}$
[/mm]
Bitte verbessere mich wenn ich am falschen Wege bin:
$ [mm] (M_1 +M_2)^{\perp} [/mm] = [mm] \{v \in V∣=0 \forall m_{1,2}\in M\} [/mm] $
das kann ich doch aufspalten in [mm] [/mm] =0
und hier komme ich auch nit weiter
>
> FRED
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Mo 08.10.2012 | | Autor: | fred97 |
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> >
> >
> > Wir nehmen uns ein x [mm]\in[/mm] M her, und müssen zeigen: x [mm]\in (M^{\perp})^{\perp}.[/mm]
>
> Heißt dies, wenn ich ein x in [mm](M^{\perp})^{\perp}[/mm] finde
> welches auch in M enthalten ist, dann ist M ein Teilraum
> von [mm](M^{\perp})^{\perp}.[/mm]
Umgekehrt: es ist zu zeigen:
x [mm]\in[/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm]\in (M^{\perp})^{\perp}.[/mm]
> Also ich müsste nicht nachprüfen
> ob es sich überhaupt um einen Teilraum handelt?
Das mußt Du nicht.
> >
> > Das ist aber, mit Verlaub , fast trivial, denn
> >
> > x [mm]\in (M^{\perp})^{\perp} \gdw[/mm] <x,v> =0 für alle v [mm]\in M^{\perp}[/mm]
>
> Wieso gilt hier " für alle v [mm]\in M^{\perp}"[/mm] und nicht "
> für alle v [mm]\in (M^{\perp})^{\perp}"[/mm]
Schau Dir die Definition noch mal an !
> >
> > Da x [mm]\in[/mm] M ist, gilt natürlich <x,v> =0 für alle v [mm]\in M^{\perp}[/mm]
>
> ok, hätte dazu nämlich noch einen b) Teil
>
>
>
> Für alle Teilräume [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] von V gilt [mm](M_1 +M_2)^{\perp} = M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp}[/mm]
>
> Bitte verbessere mich wenn ich am falschen Wege bin:
>
> [mm](M_1 +M_2)^{\perp} = \{v \in V∣=0 \forall m_{1,2}\in M\}[/mm]
Nein. [mm](M_1 +M_2)^{\perp} = \{v \in V: =0 ~~\forall m_{1}\in M_1 , m_2 \in M_2\}[/mm]
>
> das kann ich doch aufspalten in [mm][/mm] =0
>
> und hier komme ich auch nit weiter
Sei v [mm] \in (M_1 +M_2)^{\perp}. [/mm] Da 0 [mm] \in M_2 [/mm] ist, haben wir [mm] =0 [/mm] für alle [mm] m_1 \in M_1. [/mm] Somit ist v [mm] \in M_1^{\perp}
[/mm]
Genauso zeigt man: v [mm] \in M_2^{\perp}
[/mm]
Damit ist gezeigt: $ [mm] (M_1 +M_2)^{\perp} \subseteq M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp} [/mm] $
Jetzt versuch Du Dich an der umgekehrten Inklusion.
FRED
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> >
> > FRED
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> > >
> > > Das ist aber, mit Verlaub , fast trivial, denn
> > >
> > > x [mm]\in (M^{\perp})^{\perp} \gdw[/mm] <x,v> =0 für alle v [mm]\in M^{\perp}[/mm]
>
> >
> > Wieso gilt hier " für alle v [mm]\in M^{\perp}"[/mm] und nicht "
> > für alle v [mm]\in (M^{\perp})^{\perp}"[/mm]
>
> Schau Dir die Definition noch mal an !
ok, Sorry habs verstanden worauf du hinaus wolltest.
Habe aber noch ein paar fragen zum Zweiten Teil.
_____________________________________________
>
> Sei v [mm]\in (M_1 +M_2)^{\perp}.[/mm] Da 0 [mm]\in M_2[/mm] ist, haben wir
> [mm]=0[/mm] für alle [mm]m_1 \in M_1.[/mm] Somit ist v [mm]\in M_1^{\perp}[/mm]
Wieso ist hier wichtig, dass 0 in$ [mm] M_2$ [/mm] liegt?
>
> Genauso zeigt man: v [mm]\in M_2^{\perp}[/mm]
Nimmst du hier an, dass es sich um das selbe v handelt wie eine Zeile darüber, oder ist dies ein anderes?
>
> Damit ist gezeigt: [mm](M_1 +M_2)^{\perp} \subseteq M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp}[/mm]
>
> Jetzt versuch Du Dich an der umgekehrten Inklusion.
Das müsste dann doch ähnlich gehen. Also es gibt ein $x [mm] \in M_1^{\perp}$ [/mm] mit$ [mm] [/mm] =0$ für alle [mm] $m_1 \in M_1$
[/mm]
Ebenso gilt dies für [mm] $M_2^{\perp}$. [/mm] Somit gilt, wenn ich [mm] M_1^{\perp} [/mm] und [mm] M_2^{\perp} [/mm] schneide, dass mein x auch in [mm] M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp} [/mm] liegt.
Dadurch muss es sich doch um das gleiche x handeln und ich kann sagen, dass $ [mm] M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp} \subseteq (M_1 +M_2)^{\perp} [/mm] .
Wenn ich nun beide zusammenfasse erhalte ich dann doch, [mm] (M_1 +M_2)^{\perp} [/mm] = [mm] M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp}
[/mm]
Hast du dies so gemeint?
mfg
>
> FRED
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> > >
> > > FRED
> > > >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 Di 09.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> >
> >
> > > >
> > > > Das ist aber, mit Verlaub , fast trivial, denn
> > > >
> > > > x [mm]\in (M^{\perp})^{\perp} \gdw[/mm] <x,v> =0 für alle v [mm]\in M^{\perp}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wieso gilt hier " für alle v [mm]\in M^{\perp}"[/mm] und nicht "
> > > für alle v [mm]\in (M^{\perp})^{\perp}"[/mm]
> >
> > Schau Dir die Definition noch mal an !
>
> ok, Sorry habs verstanden worauf du hinaus wolltest.
> Habe aber noch ein paar fragen zum Zweiten Teil.
>
> _____________________________________________
> >
> > Sei v [mm]\in (M_1 +M_2)^{\perp}.[/mm] Da 0 [mm]\in M_2[/mm] ist, haben wir
> > [mm]=0[/mm] für alle [mm]m_1 \in M_1.[/mm] Somit ist v [mm]\in M_1^{\perp}[/mm]
>
> Wieso ist hier wichtig, dass 0 in[mm] M_2[/mm] liegt?
Wenn v $ [mm] \in (M_1 +M_2)^{\perp}, [/mm] $, so ist doch [mm] =0 [/mm] für alle [mm] m_1 \in M_1 [/mm] und alle [mm] m_2 \in M_2. [/mm]
Also haben wir insbesondere [mm] =0 [/mm] , also [mm] =0 [/mm] für alle [mm] m_1 \in M_1.
[/mm]
>
> >
> > Genauso zeigt man: v [mm]\in M_2^{\perp}[/mm]
>
> Nimmst du hier an, dass es sich um das selbe v handelt wie
> eine Zeile darüber,
Ja.
> oder ist dies ein anderes?
>
> >
> > Damit ist gezeigt: [mm](M_1 +M_2)^{\perp} \subseteq M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp}[/mm]
>
> >
> > Jetzt versuch Du Dich an der umgekehrten Inklusion.
>
> Das müsste dann doch ähnlich gehen. Also es gibt ein [mm]x \in M_1^{\perp}[/mm]
> mit[mm] =0[/mm] für alle [mm]m_1 \in M_1[/mm]
Das ist doch trivial ! Nimm x=0.
>
> Ebenso gilt dies für [mm]M_2^{\perp}[/mm]. Somit gilt, wenn ich
> [mm]M_1^{\perp}[/mm] und [mm]M_2^{\perp}[/mm] schneide, dass mein x auch in
> [mm]M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp}[/mm] liegt.
>
> Dadurch muss es sich doch um das gleiche x handeln und ich
> kann sagen, dass $ [mm]M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp} \subseteq (M_1 +M_2)^{\perp}[/mm]
Nein, so geht das nicht.
Sei x [mm] \in M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp}. [/mm] Dann ist x [mm] \in M_1^{\perp} [/mm] und x [mm] \in M_2^{\perp}. [/mm] Somit:
[mm] =0 [/mm] für alle [mm] m_1 \in M_1 [/mm] und [mm] =0 [/mm] für alle [mm] m_2 \in M_2.
[/mm]
Damit haben wir:
[mm] =0 [/mm] für alle [mm] m_1 \in M_1 [/mm] und alle [mm] m_2 \in M_2.
[/mm]
Fazit: <x,m>=0 für alle m [mm] \in M_1+M_2.
[/mm]
FRED
> .
>
> Wenn ich nun beide zusammenfasse erhalte ich dann doch,
> [mm](M_1 +M_2)^{\perp}[/mm] = [mm]M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp}[/mm]
>
> Hast du dies so gemeint?
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> mfg
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> > FRED
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> Wenn v [mm]\in (M_1 +M_2)^{\perp}, [/mm], so ist doch [mm]=0[/mm]
> für alle [mm]m_1 \in M_1[/mm] und alle [mm]m_2 \in M_2.[/mm]
>
> Also haben wir insbesondere [mm]=0[/mm] , also [mm]=0[/mm]
> für alle [mm]m_1 \in M_1.[/mm]
> >
> > >
> > > Genauso zeigt man: v [mm]\in M_2^{\perp}[/mm]
> >
> > Nimmst du hier an, dass es sich um das selbe v handelt wie
> > eine Zeile darüber,
>
> Ja.
>
Ich glaube das war mein Knackpunkt
>
> Sei x [mm]\in M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp}.[/mm] Dann ist x [mm]\in M_1^{\perp}[/mm]
> und x [mm]\in M_2^{\perp}.[/mm] Somit:
>
> [mm]=0[/mm] für alle [mm]m_1 \in M_1[/mm] und [mm]=0[/mm] für alle
> [mm]m_2 \in M_2.[/mm]
>
> Damit haben wir:
>
> [mm]=0[/mm] für alle [mm]m_1 \in M_1[/mm] und alle [mm]m_2 \in M_2.[/mm]
>
> Fazit: <x,m>=0 für alle m [mm]\in M_1+M_2.[/mm]
Ok danke habs verstanden, dennoch habe ich einen weiteren Satz in meinem Skript gefunden. und zwar,
"Es gilt $ [mm] (M_1 +M_2)^{\perp} \subseteq M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp} [/mm] $ für alle Teilräume [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] von V ."
Aber dies ist doch analog das selbe wie vorher oder irre ich mich da. Darf ich jetzt nur von der Annahme ausgehen, dass $ [mm] (M_1 +M_2)^{\perp} \subseteq M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp} [/mm] $ und darauf schließen dass es für alle Teilräume gilt?
Sprich ich muss zeigen, dass es sich dabei um Teilräume handelt? Oder bin ich wieder am falschen Dampfer?
Danke dir, (wie immer) Fred ;)
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Di 09.10.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > Wenn v [mm]\in (M_1 +M_2)^{\perp}, [/mm], so ist doch [mm]=0[/mm]
> > für alle [mm]m_1 \in M_1[/mm] und alle [mm]m_2 \in M_2.[/mm]
> >
> > Also haben wir insbesondere [mm]=0[/mm] , also [mm]=0[/mm]
> > für alle [mm]m_1 \in M_1.[/mm]
> > >
> > > >
> > > > Genauso zeigt man: v [mm]\in M_2^{\perp}[/mm]
> > >
> > > Nimmst du hier an, dass es sich um das selbe v handelt wie
> > > eine Zeile darüber,
> >
> > Ja.
> >
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> Ich glaube das war mein Knackpunkt
>
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> >
> > Sei x [mm]\in M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp}.[/mm] Dann ist x [mm]\in M_1^{\perp}[/mm]
> > und x [mm]\in M_2^{\perp}.[/mm] Somit:
> >
> > [mm]=0[/mm] für alle [mm]m_1 \in M_1[/mm] und [mm]=0[/mm] für alle
> > [mm]m_2 \in M_2.[/mm]
> >
> > Damit haben wir:
> >
> > [mm]=0[/mm] für alle [mm]m_1 \in M_1[/mm] und alle [mm]m_2 \in M_2.[/mm]
>
> >
> > Fazit: <x,m>=0 für alle m [mm]\in M_1+M_2.[/mm]
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> Ok danke habs verstanden, dennoch habe ich einen weiteren
> Satz in meinem Skript gefunden. und zwar,
>
> "Es gilt [mm](M_1 +M_2)^{\perp} \subseteq M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp}[/mm]
> für alle Teilräume [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] von V ."
Komisch... Wir haben doch oben gezeigt, dass sogar "=" gilt !
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> Aber dies ist doch analog das selbe wie vorher
Ja
> oder irre
> ich mich da. Darf ich jetzt nur von der Annahme ausgehen,
> dass [mm](M_1 +M_2)^{\perp} \subseteq M_1^{\perp} \cap M_2^{\perp}[/mm]
> und darauf schließen dass es für alle Teilräume gilt?
> Sprich ich muss zeigen, dass es sich dabei um Teilräume
> handelt?
Nein, [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] sind nach Vor. Teilräume von V.
FRED
> Oder bin ich wieder am falschen Dampfer?
>
> Danke dir, (wie immer) Fred ;)
>
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> >
> > FRED
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> Nein, [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] sind nach Vor. Teilräume von V.
>
Ok, dann hätte ich noch eine abschließende Frage und zwar steht in der Angabe in Klammer (beliebig dimensional). Was würde sich ändern wenn es nun ein endlich dimensionaler Vektoraum wäre?
Spontan würde ich sagen, nichts, da ja auch ein beliebiger Vektoraum endlich dimensional sein kann.
Irgendwie erscheint mir diese Antwort schlichtweg zu einfach, und würde gerne wissen ob du nch einen Tipp für mich hättest?
mfg
> FRED
>
> > Oder bin ich wieder am falschen Dampfer?
> >
> > Danke dir, (wie immer) Fred ;)
> >
> >
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> > > FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Di 09.10.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > Nein, [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] sind nach Vor. Teilräume von V.
> >
>
> Ok, dann hätte ich noch eine abschließende Frage und zwar
> steht in der Angabe in Klammer (beliebig dimensional). Was
> würde sich ändern wenn es nun ein endlich dimensionaler
> Vektoraum wäre?
Nichts.
Haben wir im Beweis irgendwo etwas in Richtung Dimension benutzt ? Nein.
FRED
> Spontan würde ich sagen, nichts, da ja auch ein beliebiger
> Vektoraum endlich dimensional sein kann.
>
> Irgendwie erscheint mir diese Antwort schlichtweg zu
> einfach, und würde gerne wissen ob du nch einen Tipp für
> mich hättest?
>
> mfg
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> > FRED
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> > > Oder bin ich wieder am falschen Dampfer?
> > >
> > > Danke dir, (wie immer) Fred ;)
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> > > > FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Di 09.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> > Wir nehmen uns ein x [mm]\in[/mm] M her, und müssen zeigen: x [mm]\in (M^{\perp})^{\perp}.[/mm]
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> Heißt dies, wenn ich ein x in [mm](M^{\perp})^{\perp}[/mm] finde
> welches auch in M enthalten ist, dann ist M ein Teilraum
> von [mm](M^{\perp})^{\perp}.[/mm]
Fred sagte ja schon, dass Du $x [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in (M^\perp)^\perp$
[/mm]
zeigen solltest.
(Ein bisschen klarer ausgedrückt: Es ist zu zeigen: [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M$ folgt
$x [mm] \in (M^\perp)^\perp\,.$)
[/mm]
ABER da gibt's noch einen sprachlich fatalen Fehler: Du darfst nicht sagen,
dass, wenn Du ein $x [mm] \in [/mm] M$ FINDEST, das AUCH in [mm] $(M^\perp)^\perp$ [/mm] liegt,
dass dann $M [mm] \subseteq (M^\perp)^\perp$ [/mm] folgt.
Sondern: Wenn Du IRGENDEIN $x [mm] \in [/mm] M$ hernimmst und dann zeigst, dass
dann auch $x [mm] \in (M^\perp)^\perp$ [/mm] folgt, dann gilt $M [mm] \subseteq (M^\perp)^\perp\,.$
[/mm]
Denn letzteres besagt eigentlich: "Wir nehmen $x [mm] \in [/mm] M$ beliebig, aber
fest, her..." (Das [mm] $x\,$ [/mm] wird nicht irgendwie in [mm] $M\,$ [/mm] "spezifisch"
ausgewählt, sondern wir wissen nur, dass wir ein Element aus [mm] $M\,$
[/mm]
nun vorliegen haben. Wenn [mm] $M\,$ [/mm] irgendwie durch Eigenschaften
charakterisiert wäre, dann dürften wir aber wenigstens diese dem [mm] $x\,$
[/mm]
natürlich auch zuschreiben: So ist etwa [mm] $[0,\infty)=\{r \in \IR: r \ge 0\}\,.$
[/mm]
Das heißt: Wenn wir (irgendein) $y [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] hernehmen, dann folgt,
dass [mm] $y\,$ [/mm] reell ist (insbesondere [mm] $\not=\pm \infty$) [/mm] und $y [mm] \ge 0\,.$..)
[/mm]
So zeigst Du dann, dass FÜR ALLE $x [mm] \in [/mm] M$ auch $x [mm] \in (M^\perp)^\perp$
[/mm]
gilt.
Dass Deine Formulierung schief geht, mach' ich Dir an einem einfachen
Beispiel klar:
Ich betrachte $X:=]-1,0]$ und [mm] $Y:=[0,1[\,.$ [/mm] Hier gilt sicher weder
$X [mm] \subseteq [/mm] Y$ noch $Y [mm] \subseteq X\,.$ [/mm] Aber ich finde ein $x [mm] \in X\,,$
[/mm]
dass auch in [mm] $Y\,$ [/mm] liegt: [mm] $x=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hey, danke für deinen Einschub und dein Beispiel, hat mir wirklich geholfen ;)
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