Orthogonalräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Geddie |
| Aufgabe | | [mm] \perp(U_{1} [/mm] + [mm] U_{2}) [/mm] = [mm] \perp U_{1} \cap \perp U_{2} [/mm] |
Hallo mal zusammen,
hab dazu eine kurze Frage.Ich soll die Gleichheit von den Orthogonalräumen zeigen. Da dachte ich mich,dass ich das über die Dimensionsformel zeigen könnte,oder? Die Dimension von [mm] \perpU [/mm] := dimV- dimU. Aber wie ist sie dann für [mm] \perp(U_{1} [/mm] + [mm] U_{2}) [/mm] definiert? Und ist meine Vorgehensweise überhaupt sinnvoll?
MfG
Gerd
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Mo 05.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Gerd!
> [mm]\perp(U_{1}[/mm] + [mm]U_{2})[/mm] = [mm]\perp U_{1} \cap \perp U_{2}[/mm]
>
> Hallo mal zusammen,
>
> hab dazu eine kurze Frage.Ich soll die Gleichheit von den
> Orthogonalräumen zeigen. Da dachte ich mich,dass ich das
> über die Dimensionsformel zeigen könnte,oder? Die Dimension
> von [mm]\perp U[/mm] := dimV- dimU. Aber wie ist sie dann für
> [mm]\perp(U_{1}[/mm] + [mm]U_{2})[/mm] definiert? Und ist meine
> Vorgehensweise überhaupt sinnvoll?
Du kannst mit der Dimensionsformel hoechstens eine Inklusion machen, wenn du die andere Inklusion hast und alles endlich-dimensional ist.
Die eine Inklusion musst du von Hand nachrechnen. Fang doch mal mit [mm] ``$\subseteq$'' [/mm] an. Wenn $v [mm] \in \perp (U_1 [/mm] + [mm] U_2)$ [/mm] ist, so bedeutet das ja, dass $v [mm] \perp (u_1 [/mm] + [mm] u_2)$ [/mm] ist fuer alle [mm] $u_1 \in U_1$, $u_2 \in U_2$. [/mm] Und du musst jetzt zeigen, dass fuer jedes [mm] $u_1 \in U_1$ [/mm] und jedes [mm] $u_2 \in U_2$ [/mm] gilt $v [mm] \perp u_1$ [/mm] und $v [mm] \perp u_2$. [/mm] (Denk dran, das Untervektorraeume die 0 enthalten.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Geddie |
hm.erstmal danke für die schnelle antwort. aber ich glaub ich kann wenig damit anfangen, wenn du sagst v [mm] \perp u_{1} [/mm] o.ä. kenn diesen Terminus gar nicht. Wir haben [mm] \perp [/mm] U := ( [mm] \xi \in [/mm] V*| [mm] \xi [/mm] (U) = 0)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Mo 05.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hm.erstmal danke für die schnelle antwort. aber ich glaub
> ich kann wenig damit anfangen, wenn du sagst v [mm]\perp u_{1}[/mm]
> o.ä. kenn diesen Terminus gar nicht. Wir haben [mm]\perp[/mm] U
> := ( [mm]\xi \in[/mm] V*| [mm]\xi[/mm] (U) = 0)
Das haettest du auch gleich dazuschreiben koennen 
Damit geht es allerdings genauso. Ist [mm] $\xi \in \perp (U_1 [/mm] + [mm] U_2)$, [/mm] so ist [mm] $\xi \in [/mm] V^*$ mit [mm] $\xi(U_1 [/mm] + [mm] U_2) [/mm] = 0$. Du musst zeigne, dass [mm] $\xi(U_1) [/mm] = 0 = [mm] \xi(U_2)$ [/mm] ist.
Aber was bedeutet [mm] $\xi(U) [/mm] = 0$ denn? Das heisst doch gerade [mm] $\xi(u) [/mm] = 0$ fuer alle $u [mm] \in [/mm] U$.
So. Und jetzt kannst du genauso weitermachen: Aus [mm] $\xi(u_1 [/mm] + [mm] u_2) [/mm] = 0$ fuer alle [mm] $u_1 \in U_1$, $u_2 \in U_2$ [/mm] musst du folgern [mm] $\xi(u_1) [/mm] = 0$, [mm] $\xi(u_2) [/mm] = 0$ fuer alle [mm] $u_2 \in U_1$, $u_2 \in U_2$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Geddie |
Ja sorry Wusste nicht, dass es da mehrere Varianten gibt... Damit kann ich aber wesentlich mehr anfangen! Danke dir und noch nen schönen Feiertag
|
|
|
|
) in euklidischen Vektorraeumen. Fuer reelle endlich-dimensionale Vektorraeume $V$ mit einer geeigneten Identifikation $V = V^*$ entsprechen sich die beiden Definitionen auch.
