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| Aufgabe | Für einen Unterraum $U [mm] \subseteq k^{n}$ [/mm] sei [mm] ${}^{\perp}U$ [/mm] (lies $U$ (links-) orthogonal) definiert als
[mm] ${}^{\perp}U:=\{y \in k^{1\times n}\ |\ yu = 0 \mbox{ für alle } u \in U \}$.
[/mm]
Analog sei für einen Unterraum $V [mm] \subseteq k^{1\times n}$ [/mm] der Orthogonalraum [mm] $V^{\perp}$ [/mm] definiert als
[mm] $V^{\perp}:=\{x \in k^{n}\ |\ vx = 0 \mbox{ für alle } v \in V\}$.
[/mm]
1. Zeige, dass [mm] ${}^{\perp}U$ [/mm] und [mm] $V^{\perp}$ [/mm] stets Unterräume sind und dass $U [mm] \subseteq \left({}^{\perp}U\right)^{\perp}$ [/mm] sowie $V [mm] \subseteq {}^{\perp} \left(V^{\perp}\right)$ [/mm] gilt.
2. Zeige, dass [mm] $\dim {}^{\perp} [/mm] U = n - [mm] \dim [/mm] U$ und [mm] $\dim V^{\perp} [/mm] = n - [mm] \dim [/mm] V$ gelten. (Tip: Bastle aus einer Basis von $U$ eine Matrix und wende den Rangsatz auf die zugehörige Abbildung an.)
3. Zeige, dass sogar [mm] $U=\left({}^{\perp}U\right)^{\perp}$ [/mm] sowie [mm] $V={}^{\perp} \left(V^{\perp}\right)$ [/mm] gilt.
4. Folgere, dass jeder Unterraum $U$ von [mm] $k^{n}$ [/mm] der Dimension $r$ durch das Verschwinden von $n- r$ linearen Gleichungen definiert werden kann. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
So. Bei 1. sollte ich doch einfach nur stur die Eigenschaften des Unterraums überprüfen, oder?
Bei den anderen beiden fehlt mir leider ein wenig der Ansatz. Vielleicht finde ich ja wieder kompetente Hilfe 
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 So 15.01.2006 | | Autor: | Geddie |
Für die 2. wurde mir der Tipp gegeben, dass man aus einer Basis von U eine Matrix basteln solle und wende dann den Rangsatz an auf die zugehörige Abbildung an.
Wie jedoch bastle ich mir daraus eine Matrix???
Kann man da nicht evtl auch mit der direkten Summe argumentieren?
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 12:55 So 15.01.2006 | | Autor: | neli |
Ich bezweifel, dass wir mit direkter Summe argumentieren dürfen weil wir doch noch gar nciht wissen, dass der [mm] k^n [/mm] die direkte Summe von U und U links orthogonal ist
Also eine Abbildung zu einer Matrix (bestehend aus den Basisvektoren und durch nullen ergänzt) ist so definirt, dass f(x) = A*x ist
Wenn ich mir jetzt für den ersten Teil eine solche Matrix gebastelt habe, bei der ich die Basisvektoren als Spalten habe und dann noch n-r 0Spalten (wenn r= dimU) die wird dann mit [mm] x^t [/mm] (x transformiert) multipliziert
wie komme ich dann darauf, dass U links orthogonal mein Kern ist?? kann mir da vieleicht jemand einen Tip geben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 So 15.01.2006 | | Autor: | Geddie |
warum willst du mit [mm] x^{t} [/mm] multiplizieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 So 15.01.2006 | | Autor: | neli |
weil x im k hoch 1 kreuz n ist (find die formel dafür grade nich sorry)
und eine Multiplikation einer n kruez n Matrix mit einer 1 kreuz n nicht deffinirt ist
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Also, ich leide auch unter diesen Aufgaben....
Was ich hinzufügen kann, ist folgendes :
1.2) Beh.: dim [mm] \perp [/mm] U = n - dimU
f:V [mm] \to [/mm] W
dimV = dimKernf + dimBildf
Man konstruiere eine lineare Abb. f mit Bildf = U und Kernf = [mm] \perp [/mm] U
[mm] \Rightarrow [/mm] dimKernf = n - dimBildf
Man muss also eine Abbildung finden für die dies gilt.
Vielleicht hilft das irgendwie weiter....
Gruß Daniel
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