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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Do 17.11.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren
[mm] \vec{v_{1}} [/mm] = (1,2,0,2), [mm] \vec{v_{2}} [/mm] = (-2,1,-1,0), [mm] \vec{v_{3}} [/mm] = (1,-1,1,1)
Berechnen Sie eine Orthonormalbasis vom Untervektorraum U, der von diesen 3 Vektoren aufgespannt wird. |
hallo zusammen:
Ich habe das mit Gram-Schmidt gelöst, und komme auf etwas seltsame Ergebnisse:
Ich möchte hier bitte nun den Rechenweg posten, vl findet jemand von euch den fehler:
Als erstes hab ich mal [mm] \vec{v_{1}} [/mm] normiert, das ergibt dann
[mm] \vec{y_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
der zweite schritt in diesem verfahren ist die zerlegung von [mm] \vec{v_{2}} [/mm] in [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{y_{1}}+\vec{w} [/mm] mit Skalarprodukt [mm] (\vec{y_{1}},\vec{w})=0
[/mm]
hier komme ich für [mm] \lambda [/mm] auf den wert 0,
[mm] \vec{w} [/mm] ist dann [mm] \vec{v_{2}}-0= \vec{v_{2}}, [/mm]
die norm von [mm] \vec{w} [/mm] ist [mm] \bruch{1}{\wurzel{6}}*\vektor{-2 \\ 1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
der nächste schritt wäre die zerlegung von [mm] \vec{v_{3}} [/mm] in [mm] \lambda_{1}*\vec{v_{1}}+\lambda_{2}*\vec{v_{2}}+\vec{z}
[/mm]
für [mm] \lambda_{1} [/mm] bekomme ich 1, für [mm] \lambda_{2} [/mm] bekomme ich den wert 3
dann krieg ich also für [mm] \vec{z} [/mm] = [mm] \vec{v_{3}}+\lambda_{1}*\vec{y_{1}}+\lambda_{2}*\vec{y_{2}} [/mm] den wert [mm] \bruch{1}{3}*\vektor{20 \\ -14 \\ -6 \\ 1}, [/mm]
[mm] \vec{z} [/mm] normiert wäre dann also [mm] \bruch{1}{3*\wurzel{633}}*\vektor{20 \\ -14 \\ -6 \\ 1}
[/mm]
da kann doch wohl was nicht stimmen beim z oder?
dank und lg markus
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> Gegeben seien die Vektoren
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> [mm]\vec{v_{1}}[/mm] = (1,2,0,2), [mm]\vec{v_{2}}[/mm] = (-2,1,-1,0),
> [mm]\vec{v_{3}}[/mm] = (1,-1,1,1)
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> Berechnen Sie eine Orthonormalbasis vom Untervektorraum U,
> der von diesen 3 Vektoren aufgespannt wird.
> hallo zusammen:
>
> Ich habe das mit Gram-Schmidt gelöst, und komme auf etwas
> seltsame Ergebnisse:
>
> Ich möchte hier bitte nun den Rechenweg posten, vl findet
> jemand von euch den fehler:
>
> Als erstes hab ich mal [mm]\vec{v_{1}}[/mm] normiert, das ergibt
> dann
>
> [mm]\vec{y_{1}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}*\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 2}[/mm]
>
> der zweite schritt in diesem verfahren ist die zerlegung
> von [mm]\vec{v_{2}}[/mm] in [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vec{y_{1}}+\vec{w}[/mm] mit
> Skalarprodukt [mm](\vec{y_{1}},\vec{w})=0[/mm]
>
> hier komme ich für [mm]\lambda[/mm] auf den wert 0,
> [mm]\vec{w}[/mm] ist dann [mm]\vec{v_{2}}-0= \vec{v_{2}},[/mm]
>
> die norm von [mm]\vec{w}[/mm] ist [mm]\bruch{1}{\wurzel{6}}*\vektor{-2 \\ 1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>
> der nächste schritt wäre die zerlegung von [mm]\vec{v_{3}}[/mm] in
> [mm]\lambda_{1}*\vec{v_{1}}+\lambda_{2}*\vec{v_{2}}+\vec{z}[/mm]
>
> für [mm]\lambda_{1}[/mm] bekomme ich 1, für [mm]\lambda_{2}[/mm] bekomme
> ich den wert 3
>
> dann krieg ich also für [mm]\vec{z}[/mm] =
> [mm]\vec{v_{3}}+\lambda_{1}*\vec{y_{1}}+\lambda_{2}*\vec{y_{2}}[/mm]
> den wert [mm]\bruch{1}{3}*\vektor{20 \\ -14 \\ -6 \\ 1},[/mm]
>
> [mm]\vec{z}[/mm] normiert wäre dann also
> [mm]\bruch{1}{3*\wurzel{633}}*\vektor{20 \\ -14 \\ -6 \\ 1}[/mm]
>
> da kann doch wohl was nicht stimmen beim z oder?
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> dank und lg markus
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Deine Lambdas stimmen nicht. Du brauchst [mm] $\lambda_i=(\vec{v}_3,\vec{y}_i)$ [/mm] für $i=1,2$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Do 17.11.2011 | | Autor: | mwieland |
bei mir im skript steht für lambda 1 -> skalarprodukt von v3 und y1 ergibt 1
lambda2 -> skalarprodukt von v3 und y2 ergibt 3
oder?
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> bei mir im skript steht für lambda 1 -> skalarprodukt von
> v3 und y1 ergibt 1
>
> lambda2 -> skalarprodukt von v3 und y2 ergibt 3
>
> oder?
[mm] $1=(\vec{v}_3,\vec{v}_1)$, [/mm] du musst aber [mm] y_1 [/mm] statt [mm] v_1 [/mm] nehmen, dh. es fehlt der Normierungsfaktor.
Und die 3 stimmt gar nicht, das rechne nochmal nach. Und auch hier an den Normierungsfaktor denken!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Do 17.11.2011 | | Autor: | mwieland |
ok, mein fehler war, dass ich versucht habe den normierungsfaktor aus dem skalarprodukt herauszuziehen und einfach v3 um das drittel zu erweitern, speich also (3,-3,3,3) zu nehmen und dann am schluss das drittel wieder miteinfließen zu lassen, aber das geht wohl anscheinend nicht, ich bekomme jetzt für lambda 1 -> 1/3
und für lambda2 -> [mm] \bruch{-4}{\wurzel{6}}
[/mm]
das müsste jetzt passen oder?
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> ok, mein fehler war, dass ich versucht habe den
> normierungsfaktor aus dem skalarprodukt herauszuziehen und
> einfach v3 um das drittel zu erweitern, speich also
> (3,-3,3,3) zu nehmen und dann am schluss das drittel wieder
> miteinfließen zu lassen, aber das geht wohl anscheinend
> nicht, ich bekomme jetzt für lambda 1 -> 1/3
>
> und für lambda2 -> [mm]\bruch{-4}{\wurzel{6}}[/mm]
>
> das müsste jetzt passen oder?
ja, sieht gut aus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Do 17.11.2011 | | Autor: | mwieland |
ich bekomme dann wenn ich mir [mm] \vec{z} [/mm] ausrechne [mm] \bruch{1}{9}*\vektor{20 \\ -17 \\ 3 \\ 7}, [/mm] das dann normiert, also mein [mm] \vec{y_{3}}= \bruch{1}{18*\wurzel{83}}*\vektor{20 \\ -17 \\ 3 \\ 7}
[/mm]
gibts das?
vielen vielen dank und lg
mark
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> ich bekomme dann wenn ich mir [mm]\vec{z}[/mm] ausrechne
> [mm]\bruch{1}{9}*\vektor{20 \\ -17 \\ 3 \\ 7},[/mm] das dann
> normiert, also mein [mm]\vec{y_{3}}= \bruch{1}{18*\wurzel{83}}*\vektor{20 \\ -17 \\ 3 \\ 7}[/mm]
>
> gibts das?
>
> vielen vielen dank und lg
> mark
da steckt noch ein vorzeichenfehler drin (wahrscheinlich beim subtrahieren von [mm] \lambda_2y_2).
[/mm]
aber egal wie, ein ganz "glattes" ergebnis kommt nicht raus.
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