PEANOsche Axiome < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Sandeu |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe mich an meine Hausaufgabe gesetzt und möchte nun wissen, ob mein Ansatz richtig ist.
Aufgabenstellung:
Zeigen Sie folgende Aussagen unter Benutzung der PEANOschen Axiome.
1. Aus n [mm] \not= [/mm] m folgt n' [mm] \not= [/mm] m'.
2. Für jede natürliche Zahl n gilt n' [mm] \not= [/mm] n.
zu 1:
n' = n +1
m' = m + 1
n [mm] \not= [/mm] m [mm] \Rightarrow [/mm] n +1 [mm] \not= [/mm] m + 1
Laut dem zweiten Axiom der PEANOschen Axiome hat jede natürliche Zahl n einen Nachfolger n' (= n + 1). Desweiteren gilt laut dem vierten Axiom, aus n' = m' folgt n = m.
zu 2:
n + 1 = n'
n' [mm] \not= [/mm] n [mm] \Rightarrow [/mm] n + 1 [mm] \not= [/mm] n
Laut dem zweiten Axiom hat jede natürliche Zahl einen Nachfolger n', dass heißt, n+1 = n'.
Bitte Korrigiert auch kleine Formfehler.
Vielen Dank
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo, ich habe mich an meine Hausaufgabe gesetzt und
> möchte nun wissen, ob mein Ansatz richtig ist.
Hallo,
Deine Überlegungen sind gewiß nicht falsch.
Um Dir aber insbesondere zu 2. helfen zu können, müßte ich jedoch wissen, wie bei Euch die Peano-Axiome formuliert wurden.
Auf jeden Fall muß alles etwas deutlicher aufgeschrieben werden. Es muß z.B. ganz klar sein, ob das, was da steht, die zu zeigende Behauptung ist, oder bereits der Beweis.
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> Aufgabenstellung:
> Zeigen Sie folgende Aussagen unter Benutzung der
> PEANOschen Axiome.
>
> 1. Aus n [mm]\not=[/mm] m folgt n' [mm]\not=[/mm] m'.
>
>
> zu 1:
Seien n,m [mm] \in \IN, [/mm] n' ein Nachfolger von n, m' ein Nachfolger von m.
Zu Zeigen:
>
n [mm]\not=[/mm] m [mm]\Rightarrow[/mm] n' [mm]\not=[/mm] m'
Beweis:
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> Laut dem zweiten Axiom der PEANOschen Axiome hat jede
> natürliche Zahl n einen Nachfolger n' . Also haben n und m Nachfolger n' und m'.
> Desweiteren gilt laut dem vierten Axiom, aus n' = m'
> folgt n = m.
Hieraus folgt durch Kontraposition die Behauptung.
> zu 2:
Wie gesagt, hier müßte ich die Formulierung der Axiome kenn. Wenn Du noch Bedarf hast, kannst Du sie ja mal mitteien.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Do 20.10.2005 | | Autor: | Sandeu |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Hilfe. Gehe ich richtig in der Annahme, das Aufgabe 1 nun erledigt ist?
Die PEANOschen Axiome sind wie folgt formuliert:
1.) 1 ist eine natürliche Zahl.
2.) Jede natürliche Zahl n besitzt einen Nachfolger n' (=n+1)
3.) Es gibt keine natürliche Zahl mit dem Nachfolger 1.
4.) Aus n'=m' folgt n=m
5.) [mm] \IN [/mm] ist die einzige Teilmenge von [mm] \IN [/mm] , die die 1 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält.
Bemerkung: Das Axiom 5.) ist das Induktionsaxiom. Es bildet die Grundlage der Definition durch Rekursion und des Beweises durch vollständige Induktion.
Ich hoffe das hilft dir mir zu helfen... Paradox 
vielen lieben dank, sandra
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> Hallo,
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> vielen Dank für die schnelle Hilfe. Gehe ich richtig in der
> Annahme, das Aufgabe 1 nun erledigt ist?
Ja.
>
Über die zweite Aufgabe habe ich nochmal nachgedacht. Wenn man nur die Peano Axiome verwenden soll, darf man ja nicht naßforsch herumrechnen. Daher meine ich, daß man sie per Induktion lösen sollte.
Das geht so: zuerst zeigen, daß die Aussage für n=1 gilt.
Dann zeigt man: unter der Annahme, daß sie für jedes n gilt, gilt sie auch für n+1.
Hieraus schließt man mit 5) sie gilt für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Gruß v. Angela
> Die PEANOschen Axiome sind wie folgt formuliert:
>
> 1.) 1 ist eine natürliche Zahl.
> 2.) Jede natürliche Zahl n besitzt einen Nachfolger n'
> (=n+1)
> 3.) Es gibt keine natürliche Zahl mit dem Nachfolger 1.
> 4.) Aus n'=m' folgt n=m
> 5.) [mm]\IN[/mm] ist die einzige Teilmenge von [mm]\IN[/mm] , die die 1 und
> mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger
> n' enthält.
>
>
> Bemerkung: Das Axiom 5.) ist das Induktionsaxiom. Es bildet
> die Grundlage der Definition durch Rekursion und des
> Beweises durch vollständige Induktion.
>
>
> Ich hoffe das hilft dir mir zu helfen... Paradox
>
> vielen lieben dank, sandra
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