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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Max80 |
| Aufgabe | Zeige, dass die Gleichung [mm] x^4 [/mm] - [mm] 4x^3 [/mm] + 27 = 0
nur die Lösung x = 3 (diese sogar doppelt) hat! |
bin bis jetzt soweit:
[mm] x^4 [/mm] - [mm] 4x^3 [/mm] = -27
jetzt die quadraht-wurzel ziehen:
[mm] x^2 [/mm] - 4x = -27
sieht mir nach pq-formel aus. also:
[mm] x^2 [/mm] - 4x +27 = 0
pq:
[mm] x_{1,2} [/mm] = +2 [mm] \pm \wurzel{4 - 27}
[/mm]
jetzt habe ich allerdings das problem, dass die wurzel negativ ist.... :(
was ist jetzt eigtl. mit "doppelt" gemeint??
danke!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:42 Sa 07.02.2009 | | Autor: | max3000 |
Ich denke mal die Aufgabe läuft darauf hinaus, dass man das Ding in Linearfaktoren mit Polynomdivision zerlegen soll.
Also den Term 2 mal durch (x-3) teilen, dann sollte man auf was kommen wie:
[mm] (x-3)^2*(x^2+ax+b)=0,
[/mm]
wobei [mm] x^2+ax+b [/mm] keine reelle Nullstellen hat, quasi der Term in der Wurzel in der PQ-Formel negativ ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:48 Sa 07.02.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
stimmt, Polynomdivision. Gut!
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Max80 |
erstmal danke! ohne die experten hier wär ich aufgeschmissen! wirklich!
aber warum 2x durch (x-3)??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:57 Sa 07.02.2009 | | Autor: | max3000 |
Weil in der Aufgabenstellung verraten ist, dass 3 eine doppelte Lösung ist.
Schau dir mal den Fundamentalsatz der Algebra an (Google hilft). Dann kannst du ein Polynom mit den Nullstellen [mm] x_i [/mm] in Linearfaktoren [mm] (x-x_1)*\ldots(x-x_n) [/mm] zerlegen.
Genau das erreichst du mit Polynomdivision.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:11 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Max80 |
ist das denn richtig dividiert? die 27 ist ja verschwunden...
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Hallo Max80,
> ist das denn richtig dividiert? die 27 ist ja
> verschwunden... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was genau meinst du damit?
Das Restpolynom, von dem in dem post oben die Rede ist, bekommst du, wenn du dein Ausgangspolynom durch [mm] $(x-3)^2$ [/mm] teilst, bzw. in 2 Schritten durch $(x-3)$ teilst und dann das Ergebnis nochmal durch $(x-3)$ teilst
[mm] $(x^4-4x^3+27):(x-3)=x^3-x^2-3x-9$
[/mm]
Rechne das nach!
Dann dasselbe nochmal mit dem Ergebnis, also
[mm] $(x^3-x^2-3x-9):(x-3)=...$
[/mm]
selber ausrechnen!
Das Ergebnis(polynom) ist vom Grad 2 und hat dann keine weiter(n) reelle(n) NST(en), das kannst du zB. mit der p/q-Formel nachrechnen.
Auf dieses Polynom vom Grad 2 wollte dich max3000 stupsen.
Also rechne mal nach und am besten auch hier vor 
LG
schachuzipus
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![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]"){kind=small}
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
