Paare aus drei Teams < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Do 05.02.2015 | | Autor: | motareis |
| Aufgabe | Aus drei unterschiedlichen Teams sollen jeweils zwei Personen gemeinsam ein Referat halten.
Team A umfasst 2 Personen, Team B umfasst 5 Personen, Team C umfasst ebenfalls 5 Personen.
1a) Wie viele Paare sind möglich?
1b) Wie viele unterschiedliche Reihenfolgen von Referaten sind hier möglich?
2a) Wie viele Paare sind möglich, wenn die Teilnehmer aus unterschiedlichen Teams stammen müssen?
2b) Wie viele unterschiedliche Reihenfolgen von Referaten sind hier möglich? |
Hallo zusammen,
gleich vorneweg: Ich bin kein Mathe-Profi, mein Schulmathe ist schon gut 15 Jahre eingerostet. Diese Aufgabe kommt aus meinem beruflichen Kontext und ist daher eher ein Gedankenspiel als eine tatsächliche Prüfungsaufgabe.
Was ich mir bisher zusammengereimt habe:
Aufgabe 1a) klingt für mich nach einer Kombination ohne Wiederholung. Bei 12 Teilnehmern würde ich hier also [mm] \vektor{12 \\ 2} [/mm] erwarten. Die Lösung hier wäre als 66 Paarungen.
Bei Aufgabe 1b) komme ich bereits etwas ins Schwimmen. Ich würde vermuten, das könnte eine Variation ohne Wiederholung sein. Aber die Krux ist ja, dass z.B. die Kombination B3 und C4 dasselbe Referat hält wie die Kombination C4 und B3. Daher wäre eine Variation ohne Wiederholung à la [mm] \bruch{12!}{(12-2)!} [/mm] vermutlich nicht der richtige Weg?
Bei Aufgabe 2a) ist der Stolperstein, dass A1 einen Partner aus Team B und A2 einen Partner aus Team C wählen muss (oder umgekehrt), da sonst das ganze Konzept nicht aufgeht.
Ich komme hier durch pures Abzählen auf 25 mögliche Paarungen:
B1 hat 7 mögliche Partner: alle Teilnehmer aus Team A (2) und Team C (5).
B2 hat danach noch 6 mögliche Partner: entweder 1 aus Team A und 5 aus Team C oder 2 aus Team A und 4 aus Team C.
B3 hat noch 5 mögliche Partner.
B4 hat noch 4 mögliche Partner.
B5 hat nur noch 2 mögliche Partner: entweder er muss einen der 2 aus Team C nehmen (falls einer aus Team A schon gewählt wurde), oder er muss einen der 2 aus Team A wählen (falls noch keiner aus Team A gewählt wurde).
A 1 oder 2 hat dann nur noch eine Wahl und muss den letzten freien Partner nehmen.
Aber dafür gibt es doch sicherlich auch eine clevere Formel?
Aufgabe 2b) lässt mich dann komplett im Regen stehen... Da habe ich nicht mal einen Ansatz. 25 mögliche Paarungen (vorausgesetzt ich habe mit 2a) Recht) halten unabhängig von ihrer Zusammensetzung 6 Referate in unterschiedlicher Reihenfolge. Ich vermute, der Lösungsweg ist ähnlich wie 1b), aber dort fehlt er mir ja auch schon.
Vielleicht gibt es unter euch ja jemanden, der sich dieser Aufgabe annehmen und mir unter die Arme greifen möchte? Wie gesagt: Es liegt keine Dringlichkeit dahinter. Es geht bei der Aufgabe unter Kollegen nur um den Spaß am Knobeln und Kombinieren.
Vielen Dank!
mota
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mota, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Vorab: gute Vorarbeit! Das möchten wir hier auch gern so haben, aber diese Hoffnung erfüllt sich leider nicht immer...
Zu Deinen Fragen:
> Aus drei unterschiedlichen Teams sollen jeweils zwei
> Personen gemeinsam ein Referat halten.
>
> Team A umfasst 2 Personen, Team B umfasst 5 Personen, Team
> C umfasst ebenfalls 5 Personen.
>
> 1a) Wie viele Paare sind möglich?
> 1b) Wie viele unterschiedliche Reihenfolgen von Referaten
> sind hier möglich?
> 2a) Wie viele Paare sind möglich, wenn die Teilnehmer aus
> unterschiedlichen Teams stammen müssen?
> 2b) Wie viele unterschiedliche Reihenfolgen von Referaten
> sind hier möglich?
> Hallo zusammen,
>
> gleich vorneweg: Ich bin kein Mathe-Profi, mein Schulmathe
> ist schon gut 15 Jahre eingerostet. Diese Aufgabe kommt aus
> meinem beruflichen Kontext und ist daher eher ein
> Gedankenspiel als eine tatsächliche Prüfungsaufgabe.
Hm. Ich frage mich schon, was das für ein beruflicher Kontext sein mag...
Das Setting kann ich mir wohl vorstellen, aber die vier Fragen dazu klingen dann doch mehr nach Aufgabe.
> Was ich mir bisher zusammengereimt habe:
>
> Aufgabe 1a) klingt für mich nach einer Kombination ohne
> Wiederholung. Bei 12 Teilnehmern würde ich hier also
> [mm]\vektor{12 \\ 2}[/mm] erwarten. Die Lösung hier wäre als 66
> Paarungen.
Genau richtig.
> Bei Aufgabe 1b) komme ich bereits etwas ins Schwimmen. Ich
> würde vermuten, das könnte eine Variation ohne
> Wiederholung sein. Aber die Krux ist ja, dass z.B. die
> Kombination B3 und C4 dasselbe Referat hält wie die
> Kombination C4 und B3.
Nein, wieso denn? Bloß weil Lara und Laura in Team B und Kevin und Gavin in Team C sind, können Lara und Kevin doch etwas anderes referieren als Laura und Gavin.
> Daher wäre eine Variation ohne
> Wiederholung à la [mm]\bruch{12!}{(12-2)!}[/mm] vermutlich nicht
> der richtige Weg?
Für das erste Team gibt es [mm] \br{12*11}{2}=66 [/mm] Möglichkeiten.
Das zweite Team: [mm] \br{10*9}{2}=45 [/mm] Möglichkeiten; etc.
Insgesamt also [mm] \br{12!}{2^6} [/mm] Möglichkeiten.
> Bei Aufgabe 2a) ist der Stolperstein, dass A1 einen Partner
> aus Team B und A2 einen Partner aus Team C wählen muss
> (oder umgekehrt), da sonst das ganze Konzept nicht
> aufgeht.
Sehr gut beobachtet. Dieses logische Detail entgeht einem leicht, wenn man nur mit "Zahlen" rechnet.
> Ich komme hier durch pures Abzählen auf 25 mögliche
> Paarungen:
> B1 hat 7 mögliche Partner: alle Teilnehmer aus Team A (2)
> und Team C (5).
> B2 hat danach noch 6 mögliche Partner: entweder 1 aus
> Team A und 5 aus Team C oder 2 aus Team A und 4 aus Team
> C.
> B3 hat noch 5 mögliche Partner.
> B4 hat noch 4 mögliche Partner.
> B5 hat nur noch 2 mögliche Partner: entweder er muss
> einen der 2 aus Team C nehmen (falls einer aus Team A schon
> gewählt wurde), oder er muss einen der 2 aus Team A
> wählen (falls noch keiner aus Team A gewählt wurde).
> A 1 oder 2 hat dann nur noch eine Wahl und muss den
> letzten freien Partner nehmen.
>
> Aber dafür gibt es doch sicherlich auch eine clevere
> Formel?
Nicht dass ich wüsste.
Ich würde mit den beiden aus Team A anfangen.
A1 hat 10 mögliche Partner aus B und C, A2 dann nur noch 5 aus dem jeweils anderen Team. Also 50 Möglichkeiten, und dann bleiben nur noch B und C mit jeweils 4 Teammitgliedern. Das sind also dann noch $4!=24$ Möglichkeiten.
Insgesamt also 1200 mögliche Paare.
> Aufgabe 2b) lässt mich dann komplett im Regen stehen... Da
> habe ich nicht mal einen Ansatz. 25 mögliche Paarungen
> (vorausgesetzt ich habe mit 2a) Recht) halten unabhängig
> von ihrer Zusammensetzung 6 Referate in unterschiedlicher
> Reihenfolge. Ich vermute, der Lösungsweg ist ähnlich wie
> 1b), aber dort fehlt er mir ja auch schon.
Das sieht komplizierter aus und ist auch nicht so "einfach" anzugehen wie 1b.
Es wird 6 Referate geben. Bei zweien davon ist jemand aus Team A beteiligt. Das Referat mit A1 hat 6 mögliche Positionen, das mit A2 noch 5. Also 50 Paarungen mal 30 Positionen.
An den übrigen vier Referaten ist immer jemand aus Team B beteiligt. Dafür noch 4! mögliche Reihenfolgen.
Das gleiche gilt für Team C.
Insgesamt also $50*30*4!*4!$ mögliche Reihenfolgen.
> Vielleicht gibt es unter euch ja jemanden, der sich dieser
> Aufgabe annehmen und mir unter die Arme greifen möchte?
> Wie gesagt: Es liegt keine Dringlichkeit dahinter. Es geht
> bei der Aufgabe unter Kollegen nur um den Spaß am Knobeln
> und Kombinieren.
Na dann: kannst Du das so nachvollziehen? Einige wenige Zwischenschritte habe ich ausgelassen. Sonst hast Du/habt Ihr ja gar nichts mehr zu tun. 
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
vielen Dank erstmal für dein freundliches Willkommen, das positive Feedback und deine ausführliche Antwort :)
> Hm. Ich frage mich schon, was das für ein beruflicher
> Kontext sein mag...
>
> Das Setting kann ich mir wohl vorstellen, aber die vier
> Fragen dazu klingen dann doch mehr nach Aufgabe.
Es ist ein Abteilungsmeeting und die Rechenaufgaben haben wir uns im Kollegenkreis selbst gestellt. Horizonterweiterung, sozusagen.
> Na dann: kannst Du das so nachvollziehen? Einige wenige
> Zwischenschritte habe ich ausgelassen.
Im Wesentlichen habe ich deine Antworten alle verstanden - auch die ausgelassenen Zwischenschritte. Aber zu einem Punkt muss ich doch eine Nachfrage stellen:
> > Aber die Krux ist ja, dass z.B. die
> > Kombination B3 und C4 dasselbe Referat hält wie die
> > Kombination C4 und B3.
>
> Nein, wieso denn? Bloß weil Lara und Laura in Team B und
> Kevin und Gavin in Team C sind, können Lara und Kevin doch
> etwas anderes referieren als Laura und Gavin.
Das stimmt natürlich. Aber wenn Lara (B3) und Kevin (C4) ein gemeinsames Referat halten, ist das Ergebnis (E) dasselbe wie Kevin (C4) und Lara (B3). Oder anders gesagt: B+C=E und C+B=E. Spielt das bei Variationen keine Rolle? Und falls doch: Muss ich dann - da zwei Variationen zu demselben Ergebnis führen - einfach [mm]\br{\br{12!}{2^6}}{2}[/mm] nehmen?
> Ich würde mit den beiden aus Team A anfangen. [...]
> Das sind also dann noch [mm]4!=24[/mm] Möglichkeiten.
>
> Insgesamt also 1200 mögliche Paare.
Ach, doch so viele. Deine Herleitung ist logisch, aber das hätte ich nicht vermutet. Es ist spannend zu sehen, wie wenig wir uns im täglichen Leben über die tatsächliche Komplexität unserer Entscheidungsmöglichkeiten bewusst sind...
Beste Grüße
mota
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 So 08.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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