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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Ich habe eine Norm auf [mm] \IR^n [/mm] für die die Parallelogrammgleichung nicht gilt.
Wie kann ich daraus schließen dasd ie Norm nicht von einem inneren produkt auf [mm] \IR^n [/mm] induziert wird?
Tutoren meinten es hat was mit dem Satz des Phytagoras zu tun. |
Hallo,
Mein Frage ist oben=)
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Hallo,
> Ich habe eine Norm auf [mm]\IR^n[/mm] für die die
> Parallelogrammgleichung nicht gilt.
> Wie kann ich daraus schließen dasd ie Norm nicht von
> einem inneren produkt auf [mm]\IR^n[/mm] induziert wird?
> Tutoren meinten es hat was mit dem Satz des Phytagoras zu tun.
Sei [mm] \|\cdot\| [/mm] eine von einem Skalarprodukt [mm] <\cdot,\cdot> [/mm] induziert Norm.
Dann gilt für [mm] x\in\IR^n:
[/mm]
[mm] \|x\|^2=
[/mm]
Beweise das die Parallelogrammidentität für diese Norm gelten muss
(das lässt sich einfach Nachrechnen).
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:52 Do 28.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe eine Norm auf [mm]\IR^n[/mm] für die die
> Parallelogrammgleichung nicht gilt.
> Wie kann ich daraus schließen dasd ie Norm nicht von
> einem inneren produkt auf [mm]\IR^n[/mm] induziert wird?
> Tutoren meinten es hat was mit dem Satz des Phytagoras zu
> tun.
>
> Hallo,
>
> Mein Frage ist oben=)
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogrammgleichung
unter "Umkehrung"
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:51 Do 28.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Ich habe eine Norm auf [mm]\IR^n[/mm] für die die
> > Parallelogrammgleichung nicht gilt.
> > Wie kann ich daraus schließen dasd ie Norm nicht von
> > einem inneren produkt auf [mm]\IR^n[/mm] induziert wird?
> > Tutoren meinten es hat was mit dem Satz des Phytagoras
> zu
> > tun.
> >
> > Hallo,
> >
> > Mein Frage ist oben=)
>
> Schau mal hier:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogrammgleichung
>
> unter "Umkehrung"
er hat aber als Aufgabe, zu zeigen, dass, wenn die Parallelogrammgleichung nicht gilt, dass dann die Norm nicht von einem Skalarprodukt induziert wird. Kontrapostionsmäßig formuliert: Er soll zeigen, dass, wenn ein Skalarprodukt eine Norm induziert, diese dann die Parallelogrammgleichung erfüllt.
In der Umkehrung steht, dass, wenn man eine Norm hat, die nicht von einem Skalarprodukt induziert wird, diese dann auch die Parallelogrammgleichung nicht erfüllt. Das ist eine andere Aufgabe:
Er soll zeigen: Skalarprodukt induziert Norm [mm] $\Rightarrow$ [/mm] diese Norm erfüllt Parallelogrammidentität.
Bei Wiki:
Wenn eine Norm die Parallelogrammidentität erfüllt, so gibt es ein Skalarprodukt, dass diese induziert. (In dieser Formulierung alleine ist ja keine Aussage mitenthalten, was denn ist, wenn eine Norm die Parallelogrammidentität erfüllt. Natürlich wird das in Wiki auch erwähnt, aber in der Umkehrung ist eigentlich das gemeint, was ich oben geschrieben habe!)
Das ist aber auch interessant, denn daher weiß man, dass genau dann eine Norm von einem Skalarprodukt induziert wird, wenn diese die Parallelogrammidentität erfüllt. (Diese Erkenntnis sollte man auch weiter mit durch's Leben tragen!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:37 Do 28.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
wie von kamaleonti schon angeführt:
Berechne einfach [mm] $\|v+w\|^2+\|v-w\|^2\,,$ [/mm] d.h. beginne so:
[mm] $$\|v+w\|^2+\|v-w\|^2=+=...=+2++...=...$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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