Parameter - triviale Lösung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welches k [mm] \in \IR [/mm] hat das System nur die triviale Lösung?
[mm] \vmat{ 4 & -2 & k \\ 12 & 0 & 3 \\ -8 & 4 & -8 } [/mm] |
Wie muss ich hier vorgehen?
Nach dem diagonalisieren komm' ich auf:
[mm] \vmat{ 4 & -2 & k \\ 0 & -6 & 3-3k \\ 0 & 0 & -8+2k }
[/mm]
Und jetzt?
Danke mal wieder (:
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Für welches k [mm]\in \IR[/mm] hat das System nur die triviale
> Lösung?
> [mm]\vmat{ 4 & -2 & k \\ 12 & 0 & 3 \\ -8 & 4 & -8 }[/mm]
Gemeint ist wohl: Für welches k [mm]\in \IR[/mm] hat das homogene Gl.-System
[mm]\pmat{ 4 & -2 & k \\ 12 & 0 & 3 \\ -8 & 4 & -8 }*x=0[/mm]
nur die triviale Lösung?
> Wie muss
> ich hier vorgehen?
> Nach dem diagonalisieren komm' ich auf:
> [mm]\vmat{ 4 & -2 & k \\ 0 & -6 & 3-3k \\ 0 & 0 & -8+2k }[/mm]
na ja, diagonalisieren nennt man das nicht. Du hast die Matrix auf [mm] \Delta [/mm] - Gestalt getrimmt, allerdings nicht ganz richtig. Richtig:
[mm]\vmat{ 4 & -2 & k \\ 0 & 6 & 3-3k \\ 0 & 0 & -8+2k }[/mm]
> Und
> jetzt?
Jetzt: allgemein: ist A eine quadratische Matrix, so hat das LGS
Ax=0
genau dann nur die triviale Lösung, wenn det(A) [mm] \ne [/mm] 0
FRED
> Danke mal wieder (:
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Wusste nicht ganz, wie ich das hier schreiben soll - aber ein *x stand nach dem Gleichungssystem nicht?
Verstehe deine Antwort leider überhaupt nicht - was muss ich jetzt machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wusste nicht ganz, wie ich das hier schreiben soll - aber
> ein *x stand nach dem Gleichungssystem nicht?
.............. sondern ..............
> Verstehe deine Antwort leider überhaupt nicht - was muss
> ich jetzt machen?
Ihr hattet also noch keine Determinanten. Dann machen wir es so:
allgemein: ist A eine quadratische n [mm] \times [/mm] n - Matrix, so hat das LGS
Ax=0
genau dann nur die triviale Lösung, wenn Rang(A)=n.
FRED
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Die Aufgabe war genau so:
gaußsystem mit 0 als Ergebnis in jeder Zeile. Hab ich vergessen dazu zu schreiben, sorry. Und ich verstehe überhaupt nicht, was du mit A(x) = 0 meinst?
Hätte jetzt gedacht, dass man für k eine Fallunterscheidung oder so machen muss?
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Hallo dunkelgruen,
> Die Aufgabe war genau so:
> gaußsystem mit 0 als Ergebnis in jeder Zeile. Hab ich
> vergessen dazu zu schreiben, sorry. Und ich verstehe
> überhaupt nicht, was du mit A(x) = 0 meinst?
Nicht $A(x)$, sondern [mm] $A\cdot{}x$ [/mm] bzw. [mm] $A\cdot{}\vec{x}$
[/mm]
Das ist sehr bedenklich ...
Was ganz oben in deinem Ausgangspost steht ist die Koeffizientenmatrix (ich nenne sie A), die das (homogene) LGS
[mm]A\cdot{}\vec{x}=\vec{0}[/mm] beschreibt.
Anders: [mm]A\cdot{}\vektor{x\\
y\\
z}=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm]
Anders: [mm]\pmat{ 4 & -2 & k \\
12 & 0 & 3 \\
-8 & 4 & -8 } \cdot{}\vektor{x\\
y\\
z}=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm]
Anders als Gleichunggystem ausgeschrieben:
(1) [mm]4x-2y+kz=0[/mm]
(2) [mm]12x+0\cdot{}y+3z=0[/mm]
(3) [mm]-8x+4y-8z=0[/mm]
Du solltest dringend mal in die Vorlesungsmitschrift gucken!
Man kann also das letzte ausgeschriebene (homogene) LGS auch beschreiben durch die Koeffizientenmatrix [mm]A[/mm]
Nun mache, was fred97 vorgeschlagen hat.
Berechne die Determinante (in Abh. von [mm]k[/mm]) und schaue, wann sie [mm]\neq 0[/mm] ist.
Oder bringe die Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform und lies die Lösung(en) in Abh. von [mm]k[/mm] ab ...
> Hätte jetzt gedacht, dass man für k eine
> Fallunterscheidung oder so machen muss?
Ja, die wird sich sowohl bei der Berechnung der Determinante als auch bei Gaußalgorithmus zeigen, wenn du die Matrix in ZSF bringst.
fred97 hat dir ja schon die richtige ZSF hingeschrieben.
Daran kannst du doch die Lösbarkeit in Abh. von [mm]k[/mm] ablesen ...
Wenn du es nicht kannst, übersetze die Matrix in ZSF wieder zurück in ein "ausgeschriebenes" LGS
Gruß
schachuzipus
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Kann mir nicht bitte jemand kurz die Lösung schreiben?
Habe jetzt etwa 10 seiten mit irgendwelchen Versuchen, und keine Ahnung wie genau ich das machen muss. habe k=1 und k=4 und k=0 und tausend andere Ergebnisse. Aber was ist jetzt richtig? Muss ich verschiedene Werte für k einsetzen? Welche? oder die Zeilen einzeln gleich 0 setzen? Wie dann weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Kann mir nicht bitte jemand kurz die Lösung schreiben?
> Habe jetzt etwa 10 seiten mit irgendwelchen Versuchen, und
> keine Ahnung wie genau ich das machen muss. habe k=1 und
> k=4 und k=0 und tausend andere Ergebnisse. Aber was ist
> jetzt richtig? Muss ich verschiedene Werte für k
> einsetzen? Welche? oder die Zeilen einzeln gleich 0 setzen?
> Wie dann weiter?
Ist das die Mödglichkeit ?
Ich hab Dir schon einiges gesagt, aber spätestens nach den Worten des Großmeisters schachuzipus hättest Du doch ein wenig Brauchbares zustande bringen können.
Dann versuchen wirs auf die umständliche, aber ausführliche Methode:
Dei LGS lautet in Stufenform:
$ [mm] \pmat{ 4 & -2 & k \\ 0 & 6 & 3-3k \\ 0 & 0 & -8+2k }* \vektor{x \\ y \\ z}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
Dieses LGS soll nur die Lösung [mm] $\vektor{x \\ y \\ z}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] haben.
So, nun schau Dir mal die letzte Zeile dieses LGS an. Die lautet:
(*) (2k-8)z= 0
Stell Dir mal vor, es ist k=2.
Edit: es soll natürlich k=4 sein.
Dann ist jedes z Lösung von (*). Dann ist aber auch jedes [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ z} [/mm] Lösung des LGS. Das kann also nicht sein.
Folglich muß k [mm] \ne [/mm] 2 sein !
Edit : es muß k [mm] \ne [/mm] 4 sein
Für diese k ist dann aber z=0 die einzige Lösung von (*)
Mit diese Erkenntnissen schauen wir uns die 2. Zeile des LGS an:
6y+(3-3k)z=0
Wir wissen schon, dass z=0 ist, also ist auch y=0.
Wenn Du Dir jetzt noch die 1. Zeile anschaust, siehst Du das auch x=0 sein muß.
Fazit: das LGS hat nur die triviale Lösung [mm] \gdw [/mm] k [mm] \ne [/mm] 4
FRED
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Nein, da ich weder Vorlesungsmitschriften habe (in der Schule wenn dann Unterrichtsmitschriften, ginge aber nur, wenn man einen Lehrer hat, der solche Aufgaben erklärt und nicht zum selbst Beibringen aufgibt)
Hat man aber nur ein Buch, in dem auf einer Seite ein Beispiel zur einem trivial (also eindeutig lösbares Gauß) lösbarem Gleichungssystem und der Satz " Ist das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar, muss geprüft werden, ob es noch weitere Lösungen gibt." steht, und dann auf der nächsten Seite auf einmal Aufgaben mit Parametern kommen, bin ich leider absolut überfordert damit.
Ich kann diagonalisieren, weiß, wann ein GS lösbar/mannigfaltig/unlösbar ist und verstehe auch, wann das System trivial/nicht trivial ist, aber mit Parametern? Keine Ahnung.
Und ich bin wirklich nicht schlecht in Mathe, finde es deswegen also etwas unfair, wenn mir hier Vorwürfe gemacht werden, "ich müsste es doch verstehen".
Versteh's aber nicht.
Determinanten hatten wir bisher noch nicht, dass man einen Vektor (x/y/z) anhängen kann, hatten wir auch noch nicht. Zudem verstehe ich nicht, was mit (*) gemeint ist, noch, welche Besonderheit sich mit k= 2 ergibt....
Danke für die Erklärungen, aber ich bräuchte entweder eine Schritt-für-Schritt-Anleitung als Beispielaufgabe oder eine "Erklärung für Dummies"...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Nein, da ich weder Vorlesungsmitschriften habe (in der
> Schule wenn dann Unterrichtsmitschriften, ginge aber nur,
> wenn man einen Lehrer hat, der solche Aufgaben erklärt und
> nicht zum selbst Beibringen aufgibt)
> Hat man aber nur ein Buch, in dem auf einer Seite ein
> Beispiel zur einem trivial (also eindeutig lösbares Gauß)
> lösbarem Gleichungssystem und der Satz " Ist das
> Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar, muss geprüft
> werden, ob es noch weitere Lösungen gibt." steht, und dann
> auf der nächsten Seite auf einmal Aufgaben mit Parametern
> kommen, bin ich leider absolut überfordert damit.
> Ich kann diagonalisieren, weiß, wann ein GS
> lösbar/mannigfaltig/unlösbar ist und verstehe auch, wann
> das System trivial/nicht trivial ist, aber mit Parametern?
> Keine Ahnung.
> Und ich bin wirklich nicht schlecht in Mathe, finde es
> deswegen also etwas unfair, wenn mir hier Vorwürfe gemacht
> werden, "ich müsste es doch verstehen".
Pardon, ich wollte Dir nicht zu nahe treten.
> Versteh's aber nicht.
> Determinanten hatten wir bisher noch nicht, dass man einen
> Vektor (x/y/z) anhängen kann, hatten wir auch noch nicht.
> Zudem verstehe ich nicht, was mit (*) gemeint ist,
Das war nur eine Kennzeichnung einer Formelzeile, dammit man darauf verweisen kann.
> noch,
> welche Besonderheit sich mit k= 2 ergibt....
> Danke für die Erklärungen, aber ich bräuchte entweder
> eine Schritt-für-Schritt-Anleitung als Beispielaufgabe
> oder eine "Erklärung für Dummies"...
Hilft es Dir, wenn ich Dir sage, dass Dein LGS ausgeschrieben so lautet:
4x-2y+kz=0
6y+(3-3k)z=0
(-8+2k)z=0
Gehe jetzt vielleicht nochmal meine letzte Antwort durch
FRED
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Kein Problem, bin nur im Moment total überfordert, weil eine wichtige Prüfung ansteht und ich 1000e von Aufgaben habe, zu denen ich weder Erklärungen des Lehrers noch Erklärungen im Buch habe. Leider nein, da ich einfach nicht weiß, was ich machen muss.
Setze ich bspw. den Term vor z gleich 0, also
-8 + 2k = 0
ergibt sich k= 4
Und dann?
Meine Frage ist einfach - WAS muss ich machen?
ich muss doch schauen, für welche k es nur die triviale Lösung gibt - also für welche Werte von k das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist - und das geht doch eigentlich NIE, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Kein Problem, bin nur im Moment total überfordert, weil
> eine wichtige Prüfung ansteht und ich 1000e von Aufgaben
> habe, zu denen ich weder Erklärungen des Lehrers noch
> Erklärungen im Buch habe. Leider nein, da ich einfach
> nicht weiß, was ich machen muss.
> Setze ich bspw. den Term vor z gleich 0, also
> -8 + 2k = 0
> ergibt sich k= 4
Au Backe , oben habe ich mich verschrieben, nicht k [mm] \ne [/mm] 2 , sondern k [mm] \ne [/mm] 4
FRED
> Und dann?
>
> Meine Frage ist einfach - WAS muss ich machen?
> ich muss doch schauen, für welche k es nur die triviale
> Lösung gibt - also für welche Werte von k das
> Gleichungssystem eindeutig lösbar ist - und das geht doch
> eigentlich NIE, oder?
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Ah, ok , habs mir schon fast gedacht.
Aber was sagt das denn dann aus? k muss doch 4 sein, damit = 0 stimmt? Also gibts keine Werte für k, bei denen es nicht triviale Lösungen gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Di 25.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn etwa k=1 ist, oder ein anderer Wert [mm] \ne4 [/mm] dann bekommst du , -wie schon gesagt - nur z=0 als Lösung der dritten Gl.
daraus dann y=0 und x=0
also bekommst du für ALLE [mm] k\ne4 [/mm] nur die triviale Lösung, Für k=4 bekommst du unendlich viele Lösungen.(du kannst z beliebig wählen)
Die Antwort auf die frage : für welches k... ist also fur k=4
Du musst versuchen klarer zu sagen was du nicht verstehst.
Eine mitschrift nennt man das, was man selbst in der vorlesung oder im Unterricht mitschreibt! wieso hast du sowas nicht?
Gruss leduart
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Danke, hab's mittlerweile durch viel rumfragen und rumprobieren verstanden.
Was eine Mitschrift ist, weiß ich schon selbst ;)
Und wie schon gesagt - weil wir's im Unterricht nicht durchgesprochen haben, sondern ich eben nur im Buch diese Aufgabe gefunden habe.
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