Parameterabhängiges Integral < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Sa 23.05.2009 | | Autor: | larifari |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\integral_{t=1}^{x^{2}}\bruch{ln(tx)}{1+t}dt [/mm] x>0
ges: f`(x) |
Hallo,
ich komme einfach bei der Aufgabe nicht zum richtigen Ergebnis.
ZUnächst einmal handelt es sich ja um ein parameterabhängiges Integral und dazu gibt mir meine Formelsammlung folgende Formel -> Ableitung parameterabhängiger Integrale:
[mm] F`(x)=-f(x,u)*u`+f(x,v)*v`+\integral_{u(x)}^{v(x)}f_{x}(x,t)dt
[/mm]
So für meine Aufgabe heisst das jetzt folgendes:
[mm] F`(x)=-\bruch{ln(x)}{2}*0+\bruch{ln(x^{3})}{1+x^{2}}*2x+\integral_{t=1}^{x^{2}}\bruch{1}{x(t+1)}dt [/mm]
Ist das erstmal soweit richtig?
Wenn ja, wie weiter? Das Integral nach t integrieren, Grenzen einsetzen und fertig?
Wäre für Hilfe sehr dankbar.
Grüße
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Hallo larifari,
> [mm]f(x)=\integral_{t=1}^{x^{2}}\bruch{ln(tx)}{1+t}dt[/mm] x>0
>
> ges: f'(x)
> Hallo,
>
> ich komme einfach bei der Aufgabe nicht zum richtigen
> Ergebnis.
>
> ZUnächst einmal handelt es sich ja um ein
> parameterabhängiges Integral und dazu gibt mir meine
> Formelsammlung folgende Formel -> Ableitung
> parameterabhängiger Integrale:
>
> [mm]F'(x)=-f(x,u)*u'+f(x,v)*v'+\integral_{u(x)}^{v(x)}f_{x}(x,t)dt[/mm]
>
> So für meine Aufgabe heisst das jetzt folgendes:
>
> [mm]F'(x)=-\bruch{ln(x)}{2}*0+\bruch{ln(x^{3})}{1+x^{2}}*2x+\integral_{t=1}^{x^{2}}\bruch{1}{x(t+1)}dt[/mm]
>
> Ist das erstmal soweit richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ja, wie weiter? Das Integral nach t integrieren,
> Grenzen einsetzen und fertig?
Richtig.
>
> Wäre für Hilfe sehr dankbar.
>
> Grüße
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Sa 23.05.2009 | | Autor: | larifari |
So, danke für die Antwort.
Hab mich da nochmal rangesetzt und komme nun auf:
[mm] F'(x)=\bruch{ln(x^{3})}{1+x^{2}}\cdot{}2x+\integral_{t=1}^{x^{2}}\bruch{1}{x(t+1)}dt [/mm] = [mm] \bruch{ln(x^{3})}{1+x^{2}}\cdot{}2x+\bruch{ln(2)}{x}-\bruch{ln(x^{2}+1)}{x}
[/mm]
Grenzen bereits in das Integral eingesetzt.
Bloß die Lösung sollte [mm] \bruch{1}{x}ln(\bruch{1+x^{2}}{2})+\bruch{6x}{1+x^{2}}ln(x) [/mm] sein?
Hab ich irgendwas übersehen?
Grüße
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Hallo larifari,
> So, danke für die Antwort.
> Hab mich da nochmal rangesetzt und komme nun auf:
>
> [mm]F'(x)=\bruch{ln(x^{3})}{1+x^{2}}\cdot{}2x+\integral_{t=1}^{x^{2}}\bruch{1}{x(t+1)}dt[/mm]
> =
> [mm]\bruch{ln(x^{3})}{1+x^{2}}\cdot{}2x+\bruch{ln(2)}{x}-\bruch{ln(x^{2}+1)}{x}[/mm]
>
Hier muß es doch heißen:
[mm]\bruch{ln(x^{3})}{1+x^{2}}\cdot{}2x\red{-}\bruch{ln(2)}{x}\red{+}\bruch{ln(x^{2}+1)}{x}[/mm]
> Grenzen bereits in das Integral eingesetzt.
>
> Bloß die Lösung sollte
> [mm]\bruch{1}{x}ln(\bruch{1+x^{2}}{2})+\bruch{6x}{1+x^{2}}ln(x)[/mm]
> sein?
>
> Hab ich irgendwas übersehen?
Der Ausdruck wurde nur etwas vereinfacht:
Nach den Logarithmusgesetzen gilt:
[mm]\ln\left(x^{3}\right)=3*\ln\left(x\right)[/mm]
[mm]\ln\left(1+x^{2}\right)-\ln\left(2\right)=\ln\left(\bruch{1+x^{2}}{2}\right)[/mm]
>
> Grüße
Gruß
MathePower
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