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| Aufgabe | Bei einem medizinischen Test leert eine Versuchsperson ein Glas Wein in einem Zug.
Anschließend wird die zeitliche Änderungsrate der Blutalkoholkonzentration (in Promille
pro Minute) aufgezeichnet. Diese wird im hier verwendeten Modell durch eine Funktion f mit der Gleichung
f'(t) = [mm] \bruch{1}{60}* e^{- \bruch{1}{20}t} [/mm] - [mm] \bruch{1}{600} [/mm]
beschrieben. Dabei ist t die Zeit in Minuten, die seit der Alkoholaufnahme vergangen ist. (Die Funktion f' ist für alle t [mm] \in \IR [/mm] definiert, aber nur für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 140 zur Modellierung geeignet. Beispielsweise bedeutet f'(t) = 0,01 eine zeitliche Änderungsrate der Blutalkoholkonzentration von 0,01 Promille pro Minute.)
c) Aus biologischen Gründen wird nach 140 Minuten die Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson durch die Funktion f nicht mehr richtig beschrieben. Für die Modellierung besser geeignet ist die an der Stelle t = 140 zusammengesetzte Funktion h mit der Gleichung
h(t) = [mm] \begin{cases} f(t), 0 \le t \le 140 \\ g(t), t \ge 140 \end{cases} [/mm] mit g(t) = [mm] u*e^{-v * t}, [/mm] wobei u [mm] \ge [/mm] 0 und v [mm] \ge [/mm] 0 geeignet zu wählen sind (siehe Abbildung 2).
(1) Bestimmen Sie die Parameter u und v so, dass die Funktion h an der Stelle t = 140 differenzierbar ist. (Genauigkeit für u und v: 5 Stellen nach dem Komma.) |
Ich habe leider keinen Lösungsansatz, weil ich nicht weiß, was ich machen soll. Ich verstehe nur Bahnhof.
Und: Habe ich es richtig verstanden, dass die Funktion h die Funktion f für Werte von t größer als 0 und kleiner als 140 ist und die Funktion g für Werte von t größer als 140?
Es wäre nett, wenn jemand die Zeit finden würde, mir ein bisschen auf die Sprünge dabei zu helfen, wie ich das lösen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Sa 28.02.2015 | | Autor: | Fulla |
> Bei einem medizinischen Test leert eine Versuchsperson ein
> Glas Wein in einem Zug.
> Anschließend wird die zeitliche Änderungsrate der
> Blutalkoholkonzentration (in Promille
> pro Minute) aufgezeichnet. Diese wird im hier verwendeten
> Modell durch eine Funktion f mit der Gleichung
> f'(t) = [mm]\bruch{1}{60}* e^{- \bruch{1}{20}t}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{600}[/mm]
> beschrieben. Dabei ist t die Zeit in Minuten, die seit der
> Alkoholaufnahme vergangen ist. (Die Funktion f' ist für
> alle t [mm]\in \IR[/mm] definiert, aber nur für 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 140
> zur Modellierung geeignet. Beispielsweise bedeutet f'(t) =
> 0,01 eine zeitliche Änderungsrate der
> Blutalkoholkonzentration von 0,01 Promille pro Minute.)
>
> c) Aus biologischen Gründen wird nach 140 Minuten die
> Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson durch die
> Funktion f nicht mehr richtig beschrieben. Für die
> Modellierung besser geeignet ist die an der Stelle t = 140
> zusammengesetzte Funktion h mit der Gleichung
> h(t) = [mm]\begin{cases} f(t), 0 \le t \le 140 \\ g(t), t \ge 140 \end{cases}[/mm]
> mit g(t) = [mm]u*e^{-v * t},[/mm] wobei u [mm]\ge[/mm] 0 und v [mm]\ge[/mm] 0 geeignet
> zu wählen sind (siehe Abbildung 2).
>
> (1) Bestimmen Sie die Parameter u und v so, dass die
> Funktion h an der Stelle t = 140 differenzierbar ist.
> (Genauigkeit für u und v: 5 Stellen nach dem Komma.)
> Ich habe leider keinen Lösungsansatz, weil ich nicht
> weiß, was ich machen soll. Ich verstehe nur Bahnhof.
>
> Und: Habe ich es richtig verstanden, dass die Funktion h
> die Funktion f für Werte von t größer als 0 und kleiner
> als 140 ist und die Funktion g für Werte von t größer
> als 140?
Ja, so ist es.
> Es wäre nett, wenn jemand die Zeit finden würde, mir ein
> bisschen auf die Sprünge dabei zu helfen, wie ich das
> lösen soll.
Hallo Unwissende,
zum Lösen von c) brauchst du Erkenntnisse aus a) oder b). Es ist die Änderungsrate f'(t) der Alkoholkonzentration gegeben, in c) brauchst du aber die tatsächliche Konzentration f(t).
Ich habe eine sehr ähnliche Aufgabe vorliegen, bei der in b) zu zeigen ist, dass [mm]f(t)=-\frac 13 e^{-\frac{t}{20}}-\frac{t}{600}+\frac 13[/mm] gilt.
Deine Aufgabe ist es nun u und v so zu bestimmen, dass h(t) (insbesondere bei t=140) differenzierbar ist. Dabei muss [mm]f(140)=g(140)[/mm] sein, weil die Funktion h bei t=140 keinen "Sprung" machen soll.
Außerdem muss [mm]f^\prime(140)=g^\prime(140)[/mm] gelten, damit h keinen "Knick" hat.
Bestimme also g'(t) und löse das Gleichungssystem $f(140)=g(140)$; [mm] $f^\prime(140)=g^\prime(140)$.
[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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Ich habe deine Anweisungen befolgt. Bei mir sieht es derzeit so aus:
g(140) = f(140)
g'(140) = f'(140)
f(140) [mm] \approx [/mm] 0,1003
f'(140) [mm] \approx [/mm] -0,00165
(Hinweis: Ich habe eine etwas andere Funktion f angegeben:
f(t) = - [mm] \bruch{1}{3}e^{-\bruch{1}{20}t} [/mm] - [mm] \bruch{1}{600}t [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] .)
Nun habe ich ein LGS aufgestellt:
I: [mm] u*e^{-v*140} [/mm] = 0,1003
II: [mm] -vue^{-v*140} [/mm] = -0,00165
I: [mm] u*e^{-v*140} [/mm] = 0,1003 | :u
[mm] \gdw e^{-v*140} [/mm] = [mm] \bruch{0,1003}{u} [/mm] | ln
[mm] \gdw [/mm] -140v = [mm] ln(\bruch{1003}{u}) [/mm] | :(-140)
[mm] \gdw [/mm] v = [mm] \bruch{ln(\bruch{1003}{u})}{-140}
[/mm]
So weit, so gut. Nun in die zweite Gleichung eingesetzt, um nach u aufzulösen.
II: [mm] -(\bruch{ln(\bruch{1003}{u})}{-140}) [/mm] * [mm] ue^{-(\bruch{ln(\bruch{1003}{u})}{-140})*140}
[/mm]
Ich weiß, ich kann die 140 jetzt noch kürzen, aber wie komme ich bei dem Mörderterm jetzt an u? Hab ich bis hier überhaupt alles richtig gemacht? Sieht meiner Meinung nach irgendwie nicht so aus...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Sa 28.02.2015 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
> Ich habe deine Anweisungen befolgt. Bei mir sieht es
> derzeit so aus:
>
> g(140) = f(140)
> g'(140) = f'(140)
> f(140) [mm]\approx[/mm] 0,1003
Ich komme auf [mm]f(140)\approx 0.099696[/mm]...
> f'(140) [mm]\approx[/mm] -0,00165
>
> (Hinweis: Ich habe eine etwas andere Funktion f angegeben:
> f(t) = - [mm]\bruch{1}{3}e^{-\bruch{1}{20}t}[/mm] - [mm]\bruch{1}{600}t[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] .)
Das ist genau die gleiche Funktion, denn [mm]\frac{1}{20}t=\frac{t}{20}[/mm] und [mm]\frac{1}{600}t=\frac{t}{600}[/mm] 
> Nun habe ich ein LGS aufgestellt:
LGS steht für lineares Gleichungssystem, was wir hier haben ist aber nicht linear. Aber das nur am Rande...
>
> I: [mm]u*e^{-v*140}[/mm] = 0,1003
> II: [mm]-vue^{-v*140}[/mm] = -0,00165
>
> I: [mm]u*e^{-v*140}[/mm] = 0,1003 | :u
> [mm]\gdw e^{-v*140}[/mm] = [mm]\bruch{0,1003}{u}[/mm] | ln
> [mm]\gdw[/mm] -140v = [mm]ln(\bruch{1003}{u})[/mm] | :(-140)
> [mm]\gdw[/mm] v = [mm]\bruch{ln(\bruch{1003}{u})}{-140}[/mm]
Du machst hier in der fünften Zeile aus 0,1003 eine 1003.
> So weit, so gut. Nun in die zweite Gleichung eingesetzt, um
> nach u aufzulösen.
>
> II: [mm]-(\bruch{ln(\bruch{1003}{u})}{-140})[/mm] *
> [mm]ue^{-(\bruch{ln(\bruch{1003}{u})}{-140})*140}[/mm]
Das ist jetzt aber keine Gleichung mehr.
> Ich weiß, ich kann die 140 jetzt noch kürzen, aber wie
> komme ich bei dem Mörderterm jetzt an u? Hab ich bis hier
> überhaupt alles richtig gemacht? Sieht meiner Meinung nach
> irgendwie nicht so aus...
Wenn du ein paar Minuszeichen und die 140 "kürzt" und den richtigen Wert für [mm]f(140)\approx 0.099696[/mm] nimmst, hast du am Ende
[mm]\frac{\ln\frac{0.099696}{u}}{140}\cdot u\cdot e^{\ln\frac{0.099696}{u}}=-0.00165[/mm]
Verwende jetzt [mm]e^{\ln (irgendwas)}= irgendwas[/mm].
Eine Alternative dazu wäre ganz am Anfang Gleichung II durch Gleichung I zu dividieren. Dabei werden die folgenden Gleichungen nicht so "hässlich".
Lieben Gruß,
Fulla
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> > (Hinweis: Ich habe eine etwas andere Funktion f
> angegeben:
> > f(t) = - [mm]\bruch{1}{3}e^{-\bruch{1}{20}t}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{600}t[/mm]
> > + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] .)
>
> Das ist genau die gleiche Funktion, denn
> [mm]\frac{1}{20}t=\frac{t}{20}[/mm] und [mm]\frac{1}{600}t=\frac{t}{600}[/mm]
>
Oh. Ja. Natürlich. Das ist jetzt peinlich.
> >
> > II: [mm]-(\bruch{ln(\bruch{1003}{u})}{-140})[/mm] *
> > [mm]ue^{-(\bruch{ln(\bruch{1003}{u})}{-140})*140}[/mm]
>
> Das ist jetzt aber keine Gleichung mehr.
Oh, das war ein Tippfehler.
>
> Wenn du ein paar Minuszeichen und die 140 "kürzt" und den
> richtigen Wert für [mm]f(140)\approx 0.099696[/mm] nimmst, hast du
> am Ende
> [mm]\frac{\ln\frac{0.099696}{u}}{140}\cdot u\cdot e^{\ln\frac{0.099696}{u}}=-0.00165[/mm]
Danke, dass du mir bei dem Term geholfen hast. Aber wieso fällst das Minus weg?
> Verwende jetzt [mm]e^{\ln (irgendwas)}= irgendwas[/mm].
>
[mm] e^{\ln (irgendwas)}= [/mm] irgendwas? Ich dachte, ich muss jetzt irgendwie nach u auflösen, wie auch immer das gehen soll...
Ich kann ja zumindest die 140 aus dem Nenner ziehen:
[mm] ln(\bruch{0,099696}{u})\cdot u\cdot e^{\ln\frac{0.099696}{u}}=-0,231
[/mm]
Und nun? Um an das u im Bruch des Exponenten zu kommen, müsste ich doch wieder logarithmieren. Und dann hab ich ln(ln(...)). Und an das erste u komm ich so auch nicht ran.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Sa 28.02.2015 | | Autor: | chrisno |
> ...
> > Wenn du ein paar Minuszeichen und die 140 "kürzt" und den
> > richtigen Wert für [mm]f(140)\approx 0.099696[/mm] nimmst, hast du
> > am Ende
> > [mm]\frac{\ln\frac{0.099696}{u}}{140}\cdot u\cdot e^{\ln\frac{0.099696}{u}}=-0.00165[/mm]
>
> Danke, dass du mir bei dem Term geholfen hast. Aber wieso
> fällst das Minus weg?
Es fällt nicht ein Minuszeichen weg, es heben sich zwei auf (Minus mal Minus gibt Plus). Dazu gehört auch noch das Wissen, dass bei einem Bruch das Minuszeichen "wandern"" kann: vom Zähler zum Nenner oder eben ganz davor, es ist alles das Gleiche.
>
> > Verwende jetzt [mm]e^{\ln (irgendwas)}= irgendwas[/mm].
> >
> [mm]e^{\ln (irgendwas)}=[/mm] irgendwas? Ich dachte, ich muss jetzt
> irgendwie nach u auflösen, wie auch immer das gehen
> soll...
Das [mm]e^{\ln (irgendwas)}=[/mm] steht schon da, mit der Gleichheit wird der Term einfacher.
[mm]\frac{\ln\frac{0.099696}{u}}{140}\cdot u\cdot \red{e}^{\red{\ln}\frac{0.099696}{u}}=-0.00165[/mm]
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