Parameterintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Marschal |
| Aufgabe | Guten Tag. Es geht darum dieses Integral zu berechnen: $ [mm] \integral_{0}^{x}{t^ne^{-t}\ \mathrm dt} [/mm] $ und zwar indem man dieses Parameterintegral ableitet:
$ F(y):= [mm] \integral_{0}^{x}{e^{-ty}\ \mathrm dt} [/mm] $ |
Das müsste stimmen: $ F'(y)= [mm] \bruch{\partial}{\partial y} \integral_{0}^{x}{e^{-ty}\ \mathrm dt}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\partial}{\partial y}\left[-\bruch{e^{-ty}}{y}\right]_0^x\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\partial}{\partial y}\left(\bruch{1-e^{-xy}}{y}\right)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{xye^{-xy}+e^{-xy}-1}{y^2} [/mm] $
Aber wie geht es jetzt weiter?
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durch Ausprobieren habe ich herausgefunden, dass die Stammfunktion dies ist: $ [mm] \integral {t^ne^{-t}\ \mathrm dt}\ [/mm] =\ [mm] C-e^{-t}\summe_{i=0}^{n}\frac{n!}{i!}t^i [/mm] $
Aber ich sehe immer noch keinen Zusammenhang. Ihr vielleicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 06.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:51 Mi 06.06.2012 | | Autor: | danm357 |
Ich denke, die Idee das Parameterintegral abzuleiten, sollte Dich auf folgenden Term bringen:
$ F'(y)= [mm] \bruch{\partial}{\partial y} \integral_{0}^{x}{e^{-ty}\ \mathrm dt}\ =\integral_{0}^{x} \bruch{\partial}{\partial y} {e^{-ty}\ \mathrm dt}\ =\integral_{0}^{x} [/mm] -t [mm] \cdot e^{-yt} \mathrm [/mm] dt $.
Mehrfach abgeleitet bringt Dich das auf einen Term $ [mm] \integral_{0}^{x}{(-t)^n e^{-yt}\ \mathrm dt} [/mm] $.
Vielleicht hast Du nun eine Idee, wie Du weitermachen kannst (das ursprüngliche Integral [mm] $\integral_{0}^{x}{e^{-ty}\ \mathrm dt} [/mm] $ ist einfach zu berechnen, und $y$ muss nur noch zu $1$ gesetzt werden.
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