Parametrisierung der 2-Sphäre < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Do 30.10.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Sei r>0. Zeige, dass
[mm] \psi: (0,\;2\pi)\times(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})\ni(\phi,\theta)\mapsto(r\;cos\phi\;cos\theta, r\;sin\phi\;cos\theta, r\;sin\theta)\in\IR^3 [/mm] eine Parametrisierung der 2-Sphäre [mm] S_r^2=\left\{(x,y,z):\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r\right\} [/mm] vom Radius r in [mm] \IR^3 [/mm] ist. |
Genügt es hier zu zeigen, dass das Bild von [mm] \psi [/mm] eben genau die 2-Sphäre ist? Oder muss ich auch noch zeigen, dass [mm] \psi [/mm] überhaupt eine Parametrisierung ist, wenn ja, welche Eigenschaften/ Bedingungen müssen erfüllt sein?
Ich habe bisher einfach gezeigt, dass alle Elemente aus [mm] Im(\psi) [/mm] auch in [mm] S_r^2 [/mm] enthalten sind. Fehlt noch die Rückrichtung, dann bin ich glaube ich fertig, oder?
Danke für eure Hilfe!
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> Sei r>0. Zeige, dass
> [mm]\psi: (0,\;2\pi)\times(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})\ni(\psi,\theta)\mapsto(r\;cos\psi\;cos\theta, r\;sin\psi\;cos\theta, r\;sin\theta)\in\IR^3[/mm]
1.) es ist schlecht, die Abbildung mit dem gleichen
Symbol [mm] \psi [/mm] wie eine ihrer Variablen zu benennen
2.) damit wirklich die gesamte Sphäre inkl. Pole und
Nullmeridian abgedeckt wird , müsste der Definitionsbereich
[mm] $[0,\;2\pi)\times[-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}]$ [/mm]
sein.
> eine Parametrisierung der 2-Sphäre
> [mm]S_r^2=\left\{(x,y,z):\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r\right\}[/mm] vom
> Radius r in [mm]\IR^3[/mm] ist.
> Genügt es hier zu zeigen, dass das Bild von [mm]\psi[/mm] eben
> genau die 2-Sphäre ist? Oder muss ich auch noch zeigen,
> dass [mm]\psi[/mm] überhaupt eine Parametrisierung ist, wenn ja,
> welche Eigenschaften/ Bedingungen müssen erfüllt sein?
> Ich habe bisher einfach gezeigt, dass alle Elemente aus
> [mm]Im(\psi)[/mm] auch in [mm]S_r^2[/mm] enthalten sind. Fehlt noch die
> Rückrichtung, dann bin ich glaube ich fertig, oder?
3.) richtig, du solltest noch zeigen, dass es zu jedem
Punkt P(x/y/z) mit [mm] x^2+y^2+z^2=1 [/mm] passende
Winkel [mm] \psi [/mm] und [mm] \theta [/mm] gibt.
Gruß al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Do 30.10.2008 | | Autor: | side |
erstmal danke für die antwort.
@1.)ich habe in de aufgabenstellung die variable geändert.
@2.)das hab ich auch schon vermutet, ich habe dem Assistenten von unserm prof mal ne mail geschickt, ob es sich um einen tipfehler handeln könnte
@3.)ok, dass funktioniert nur, wenn ich wie oben angegeben die intervallgrenzen ändere bzw. das intervall "abschließe". Bleibt die Frage offen, ob ich die Parametrisierung dann als solche hinnehmen kann oder ob ich noch beweisen muss, dass es überhaupt eine parametrisierung ist!
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> erstmal danke für die antwort.
> @1.)ich habe in de aufgabenstellung die variable
> geändert.
gut; [mm] \phi [/mm] und [mm] \theta [/mm] sind auch die zu diesem Zweck gängigen
Bezeichnungen
> @2.)das hab ich auch schon vermutet, ich habe dem
> Assistenten von unserm prof mal ne mail geschickt, ob es
> sich um einen tipfehler handeln könnte
> @3.)ok, dass funktioniert nur, wenn ich wie oben angegeben
> die intervallgrenzen ändere bzw. das intervall
> "abschließe". Bleibt die Frage offen, ob ich die
> Parametrisierung dann als solche hinnehmen kann oder ob ich
> noch beweisen muss, dass es überhaupt eine parametrisierung
> ist!
Wenn die Parametrisierung die Sphäre wirklich abdeckt,
bleibt nach meiner Meinung nichts weiter nachzuweisen.
Ich weiss nicht, ob bei euch noch weitere Bedingungen an
eine "Parametrisierung" gestellt wurden, wie z.B. Stetigkeit,
Differenzierbarkeit (wäre hier sicher auch erfüllt).
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Do 30.10.2008 | | Autor: | side |
danke, hat mir sehr geholfen...
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:05 Do 30.10.2008 | | Autor: | side |
Ich weis mitlerweile, dass ich noch zeigen muss, dass die Abblidung eine Einbettung ist und dass das Bild von [mm] \psi [/mm] eine offene Umgebung eines Punktes aus der Sphäre ist. Ich muss also folgendes zeigen:
i) [mm] \psi [/mm] ist Immersion (also Rang von [mm] J_{\psi}(a)=3 [/mm] für alle [mm] a\in(0,\;2\pi)\times(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}).
[/mm]
ii) [mm] \psi [/mm] injektiv
iii) [mm] \psi:(0,\;2\pi)\times(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})\to\psi((0,\;2\pi)\times(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})) [/mm] ist Homöomorphismus.
iv) [mm] Im(\psi) [/mm] ist offene Umgebung eines Punktes in der Sphäre
Zunächst mal: Kann das so stimmen?
Außerdem: Wie zeige ich, dass die Abbildung Injektiv ist?
Und weiter: Wie zeige ich, dass die Abb. ein Homöomorphismus ist (d.h. dass die Umkehrabbildung auf dem Bild [mm] von\psi [/mm] stetig ist)
Und zuletzt: wie zeig ich das mit der offenen Umgebung?
Danke im Voraus
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> Ich weis mitlerweile, dass ich noch zeigen muss, dass die
> Abblidung eine Einbettung ist und dass das Bild von [mm]\psi[/mm]
> eine offene Umgebung eines Punktes aus der Sphäre ist. Ich
> muss also folgendes zeigen:
> i) [mm]\psi[/mm] ist Immersion (also Rang von [mm]J_{\psi}(a)=3[/mm] für
> alle [mm]a\in(0,\;2\pi)\times(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}).[/mm]
Der Rang kann wohl nur 2 sein ! Das sollte auch genügen,
denn wir haben es mit einer Fläche zu tun.
>
> ii) [mm]\psi[/mm] injektiv
> iii)
> [mm]\psi:(0,\;2\pi)\times(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})\to\psi((0,\;2\pi)\times(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}))[/mm]
> ist Homöomorphismus.
>
> iv) [mm]Im(\psi)[/mm] ist offene Umgebung eines Punktes in der
> Sphäre
>
> Zunächst mal: Kann das so stimmen?
> Außerdem: Wie zeige ich, dass die Abbildung Injektiv ist?
> Und weiter: Wie zeige ich, dass die Abb. ein
> Homöomorphismus ist (d.h. dass die Umkehrabbildung auf dem
> Bild [mm]von\psi[/mm] stetig ist)
> Und zuletzt: wie zeig ich das mit der offenen Umgebung?
>
> Danke im Voraus
Lang ist's her, seit ich mich mit derartigen Dingen eingehend
beschäftigt habe. Deshalb habe ich mich ![[]](/images/popup.gif) hier etwas schlau
gemacht. Das Beispiel mit der 2-Sphäre wird dort auch
besprochen, jedoch auch nur mit den offenen Parameter-
intervallen [mm] $0<\phi<2\pi\ ,\quad -\bruch{\pi}{2}<\theta<\bruch{\pi}{2}$.
[/mm]
Es wird auch gesagt, dass
damit "gewisse Teile" der Sphäre parametrisiert werden.
Solange der Parameterbereich und der Bildbereich in diesem
Beispiel die beschriebenen offenen Mengen sind, habe ich
keinerlei Bedenken bezüglich der Gültigkeit der Punkte
i, ii, iii und iv. Allerdings hat man dann eben doch
nicht die ganze Sphäre parametrisiert !
Nimmt man aber z.B. einen Pol hinzu, so ist die
Abbildung nicht mehr injektiv, denn der Punkt
N(0/0/1) kann z.B. mit [mm] (\phi,\theta)=(\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})
[/mm]
aber auch mit [mm] (\phi,\theta)=(\pi,\bruch{\pi}{2}) [/mm] beschrieben werden.
LG Al-Chw.
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