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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mo 05.02.2007 | | Autor: | Trapt_ka |
| Aufgabe | Gegen ist die anweisung:
Berechnen Sie durch Differenzieren nach dem Parameter t [mm] \ge [/mm] 0 das Integral
F(t)= [mm] \integral_{0}^{1}{(x^{t}-1)/ln(x) dx} [/mm] |
Nun weis ich leider nicht meh wi ich dabei vorgehen soll
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Steht da wirklich [mm]t \geq 0[/mm]? Meiner Ansicht nach kann man nämlich sogar [mm]t > -1[/mm] zulassen.
Differenziere formal unter dem Integralzeichen nach [mm]t[/mm] und weise die kompakte Konvergenz des abgeleiteten Integrals für [mm]t > -1[/mm] nach. Wenn jetzt das Ausgangsintegral auch nur für ein [mm]t_0 > -1[/mm] konvergiert (für [mm]t_0 =0[/mm] z.B. ist das offensichtlich), dann konvergiert es schon kompakt in [mm]t > -1[/mm]. Die dadurch definierte Funktion [mm]F(t)[/mm] ist dann differenzierbar und ihre Ableitung [mm]F'(t)[/mm] stimmt mit dem abgeleiteten Integral überein. Dieses kann aber berechnet werden, woraus man wieder auf [mm]F(t)[/mm] zurückschließen kann.
Ergebnis: [mm]F(t) = \ln{(1+t)} \, , \ \ t > -1[/mm]
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