Partialbruchzerlegung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Di 29.08.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Bestimme mit hilfe der PBZ den Wert der Reihe
[mm] \summe_{j=2}^{\infty}:=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{j=2}^{n}\bruch{1}{j^2-1} [/mm] |
Hallo Leute,
mein Ansatz
[mm] \summe_{j=2}^{\infty}:=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{j=2}^{n}\bruch{1}{(j-1)(j+1)}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{n-1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n(1+\bruch{1}{n})}{n(1-\bruch{1}{n})}=1
[/mm]
ja ist nicht viel aber genug raum um fehler zu machen.
ich vermute das ich da was mit dem laufindex j=2 falsch gemacht habe,
Danke für eure antworten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:25 Mi 30.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bestimme mit hilfe der PBZ den Wert der Reihe
>
> [mm]\summe_{j=2}^{\infty}:=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{j=2}^{n}\bruch{1}{j^2-1}[/mm]
> Hallo Leute,
>
> mein Ansatz
>
> [mm]\summe_{j=2}^{\infty}:=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{j=2}^{n}\bruch{1}{(j-1)(j+1)}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{n-1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n(1+\bruch{1}{n})}{n(1-\bruch{1}{n})}=1[/mm]
Schreib doch mal, wie du von [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{j=2}^{n}\bruch{1}{(j-1)(j+1)}$ [/mm] auf [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{n-1}$ [/mm] gekommen bist. Wenn ein Fehler vorliegt, dann dort.
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:58 Mi 30.08.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo hooover!
Ich vermute den Fehler anderselben Stelle wie Felix ...
Zerlege den Bruch (gemäß Hinweis "Partialbruchzerlegung") zu:
[mm] $\bruch{1}{j^2-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(j+1)*(j-1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{j-1}-\bruch{\bruch{1}{2}}{j+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{j-1}-\bruch{1}{j+1}\right)$
[/mm]
Und nun einmal in zwei Teilreihen zerlegen und nach einer Indexverschiebung wieder zusammenfassen. Da bleibt dann wirklich nicht mehr viel übrig ...
Gruß
Loddar
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