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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Mo 28.04.2008 | | Autor: | MadMax |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die komplexe PBZ von [mm] (6z³-66z²+352z-1032)/(z^4-8z³+56z²-160z+400)
[/mm]
alle koeffizienten der PBZ sind ganzzahlig und eine NST des Nenners ist 2+4j |
Hallo
Wie soll ich mit dieser Aufgabe anfangen?
Ich dachte bei der Patrialbruchzerlgegung muss der Nenner kleiner sein als der Zähler.
Ich vertraue mal wieder auf eure superkompetente Hilfe.
Danke
Gruß Madmax
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Mo 28.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, im Gegenteil, der Nenner muss höherer Ordng sein als der Z.
Dann die Nst, des Nenners bestimmen, da du eine hast, erstmal durch dividieren!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mo 28.04.2008 | | Autor: | MadMax |
Das verstehe ich nicht, normal muss es doch oben mehr sein, als unten, damit man das teilen kann.
Wie soll ich das denn jetzt anfangen?
Danke
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Hallo MadMax,
das hat leduart doch geschrieben...
Um die PBZ zu machen, musst du zunächst das Nennerpolynom faktorisieren, also in Linearfaktoren [mm] $n(z)=(z-z_0)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)$ [/mm] zerlegen.
Dazu bestimme die Nullstellen des Nenners.
Eine [mm] ($z_0=2+4j$) [/mm] hast du vorgegeben und du weißt bestimmt, dass damit auch die komplex konjuguerte Zahl [mm] $z_1=2\red{-}4j$ [/mm] eine NST ist.
Also spalte per Polynomdivision diese beiden NSTen ab, dann bleibt ein quadratisches Polynom, dessen NSTen du ja bestimmen kannst.
Wenn du diese Zerlegung des Nenners hast, kannst du wie üblich ansetzen:
[mm] $\frac{6z^3-66z^2+352z-1032}{(z-z_0)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)}=\frac{A}{z-z_0}+\frac{B}{z-z_1}+\frac{C}{z-z_2}+\frac{D}{z-z_3}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Mo 28.04.2008 | | Autor: | MadMax |
Ich weiss, ich stelle mich recht dumm an, aber ich blick nicht durch die komplexe Geschichte durch.
Ihr meint ich soll jetzt:
[mm] (z^4-8z^3+56z^2-160z+400): [/mm] (2+4j)*(2-4j)=
Teilen. Was muss ich da mit den J machen, ich hab doch garkein Z drin.
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Hallo nochmal,
> Ich weiss, ich stelle mich recht dumm an, aber ich blick
> nicht durch die komplexe Geschichte durch.
> Ihr meint ich soll jetzt:
>
> [mm](z^4-8z^3+56z^2-160z+400):[/mm] (2+4j)*(2-4j)= ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Nein, natürlich nicht, das sind doch bloß komplexe Zahlen, durch die du da oben teilen möchtest!
Du willst aber doch lineare Terme abspalten!
Wie machst du das denn im Reellen? Wenn du zB. das Polynom [mm] $x^2+2x+1$ [/mm] hast und die Nullstelle [mm] $x_0=1$ [/mm] abspalten willst?
Teilst du da [mm] $(x^2+2x+1):1$ [/mm] ?
Doch wohl kaum 
Du spaltest den Linearfaktor [mm] $(x-x_0)$ [/mm] ab, teilst also [mm] $(x^2+2x+1):(x-1)=..$
[/mm]
Genauso machst du's hier, teile [mm] $(z^4-8z^3+56z^2-160z+400):(z-(2+4j))$ [/mm] und das Ergebnis durch $(z-(2-4j))$
Du solltest es dir hier aber einfacher machen und direkt beides in einem abspalten:
[mm] $(z-(2+4j))(z-(2-4j))=z^2-4z+20$ [/mm] in einem Schwung abspalten....
Berechne also [mm] $(z^4-8z^3+56z^2-160z+400):(z^2-4z+20)=...$
[/mm]
LG
schachuzipus
> Teilen. Was muss ich da mit den J machen, ich hab doch
> garkein Z drin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mo 28.04.2008 | | Autor: | MadMax |
ok, das habe ich jetzt gemacht und es kamen die gleichen NSTs nochmal raus, d.h.
z1=2+4j , z2=2-4j , z3=2+4j , z4=2-4j
das ist doch aber wenn ich es so hinschreibe immernoch nicht kleiner als der Zähler oder?
Faktorisiert wäre das, [mm] (z-(2+4j))^2 [/mm] * [mm] (z-(2-4j))^2
[/mm]
wie geht es weiter?
Vielen Dank
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Hallo nochmal,
> ok, das habe ich jetzt gemacht und es kamen die gleichen
> NSTs nochmal raus, d.h.
> z1=2+4j , z2=2-4j , z3=2+4j , z4=2-4j ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> das ist doch aber wenn ich es so hinschreibe immernoch
> nicht kleiner als der Zähler oder?
was meinst du damit?
> Faktorisiert wäre das, [mm](z-(2+4j))^2[/mm] * [mm](z-(2-4j))^2[/mm]
>
> wie geht es weiter?
Du hast also 2 doppelte NST, mache also den Ansatz:
$ [mm] \frac{6z^3-66z^2+352z-1032}{z^4-8z³+56z²-160z+400)}=\frac{6z^3-66z^2+352z-1032}{(z-(2+4j))^2\cdot{}(z-(2-4j))^2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{A}{z-(2+4j)}+\frac{B}{(z-(2+4j))^2}+\frac{C}{z-(2-4j)}+\frac{D}{(z-(2-4j))^2} [/mm] $ mit $A, B, C, [mm] D\in\IC$
[/mm]
> Vielen Dank
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Mo 28.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Nein, im Gegenteil, der Nenner muss höherer Ordng sein als der Zähler.
> Dann die Nullstellen des Nenners bestimmen und dadurch dividieren!
Mit so riesigen Zahlen ist das alles recht schwierig. Es geht doh wohl in erster Linie darum das Prinzip zu verstehen und das geht am besten mit "einfachen" Zahlen.
[mm] \bruch{x+1}{x^{2}-4}
[/mm]
Nullstellen des Nenners sind 2 und -2 - also: [mm] \bruch{x+1}{(x-2)*(x+2)}
[/mm]
Und was soll jetzt dividiert werden? Und was kriegt man dann raus?
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Hallo Ralph,
hier geht's ja erst einmal darum, die NSTen des Nenners überhaupt zu bestimmen, die sind ja hier nicht so einfach "abzulesen" wie in deinem Bsp.
2 sind quasi gegeben in der Aufgabenstellung und die anderen muss man halt berechnen.
Das geht m.E. hier nicht durch "Ansehen" des Nennerpolynoms sondern nur durch Reduktion auf eines vom Grade 2 durch die entsprechende o.a. Polynomdivision, so dass man das entstehende Polynom 2.Grades mit bekannten Mitteln weiter verarzten kann.
Oder habe ich dich irgendwie falsch verstanden?
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Mo 28.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Das geht m.E. hier nicht durch "Ansehen" des Nennerpolynoms .
> Oder habe ich dich irgendwie falsch verstanden?
Vielleicht hast du mich ja falsch verstanden (bzw. ich hatte den Fragesteller falsch verstanden). Also ging es doch darum, ein dermaßen kompliziertes Gebilde zu konstruieren, um es danach auseinander zu druseln.
Wenn es dagegen - so wie ich es annahm - ein eindeutiges Lösungs-Verfahren gibt, dann ist es eigentlich wurscht, ob man das an einem einfachen oder komplizierten Beispiel durchexerziert.
Für das Verstehen des Prinzips sind "einfache Beispiele" aber sinnvoller:
Um die Addition von Brüchen zu verstehen, ist [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{2}{3} [/mm] ein sinnvolleres Beispiel als [mm] \bruch{246}{93552}+\bruch{13}{7305}
[/mm]
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