Partialsumme berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mo 14.12.2009 | | Autor: | bAbUm |
| Aufgabe | [mm] s_n=\summe_{k=2}^{n} \bruch{2}{k^2-1}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{k^2-1}= \bruch{2}{(k-1)(k+1)} [/mm]
[mm] =\bruch{A}{(k-1)}+ \bruch{B}{(k+1)} [/mm] (Partialbruchgleichung)
= [mm] \bruch{A(k+1)+B(k-1)}{(k-1)(k+1)} [/mm]
= [mm] \bruch{k(A+B)+(A-B)}{(k-1)(k+1)} [/mm]
Koeffizientenvergleich: [mm] \vektor{A+B=0 \\ A+B=2} [/mm] => A=1 ; B=-1
=> [mm] s_n=\summe_{k=2}^{n} \bruch{1}{k-1}-\summe_{k=2}^{n} \bruch{1}{k+1}
[/mm]
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Hallo
Wie schon das Diskussionsthema andeutet muss ich Partialsummen von reihen bestimmen. Nur fange ich da bei Null an.
puuh wo soll ich anfangen?
-Was muss ich tun...?
->Anscheinend den Nenner in linerafaktoren darstellen, richtig?
-Wie/wieso anschließend den Bruch "aufteilen"? (zur Partialbruchgleichung)
-Wieso A und B einsetzen? Was ist aus der 2 im Zähler geworden?
->es wird auf einen Nenner gebracht und ausmultipliziert
->Dann wird anscheinend aus nach k geordnet
-Koeffizientenvergleich: A+B=0 warum 0? A-B=2? und woher bekomme ich diese Gleichungen? aus dem Zähler?
wie komme ich dann am ende auf die Zähler und Nenner bei den beiden Folgen? Aus dem Koeffizientenvergleich?
Bin für jede hilfe dankbar!!
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> [mm]s_n=\summe_{k=2}^{n} \bruch{2}{k^2-1}[/mm]
> [mm]\bruch{2}{k^2-1}= \bruch{2}{(k-1)(k+1)}[/mm]
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> [mm]=\bruch{A}{(k-1)}+ \bruch{B}{(k+1)}[/mm] (Partialbruchgleichung)
>
> = [mm]\bruch{A(k+1)+B(k-1)}{(k-1)(k+1)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{k(A+B)+(A-B)}{(k-1)(k+1)}[/mm]
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> Koeffizientenvergleich: [mm]\vektor{A+B=0 \\ A+B=2}[/mm] => A=1 ;
> B=-1
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> => [mm]s_n=\summe_{k=2}^{n} \bruch{1}{k-1}-\summe_{k=2}^{n} \bruch{1}{k+1}[/mm]
>
> Hallo
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> Wie schon das Diskussionsthema andeutet muss ich
> Partialsummen von reihen bestimmen. Nur fange ich da bei
> Null an.
>
> puuh wo soll ich anfangen?
> -Was muss ich tun...?
>
> ->Anscheinend den Nenner in linerafaktoren darstellen,
> richtig?
>
> -Wie/wieso anschließend den Bruch "aufteilen"? (zur
> Partialbruchgleichung)
>
> -Wieso A und B einsetzen? Was ist aus der 2 im Zähler
> geworden?
>
> ->es wird auf einen Nenner gebracht und ausmultipliziert
>
> ->Dann wird anscheinend aus nach k geordnet
>
> -Koeffizientenvergleich: A+B=0 warum 0? A-B=2? und woher
> bekomme ich diese Gleichungen? aus dem Zähler?
> wie komme ich dann am ende auf die Zähler und Nenner bei
> den beiden Folgen? Aus dem Koeffizientenvergleich?
>
> Bin für jede hilfe dankbar!!
>
Hallo,
du solltest dir vielleicht mal das ![[]](/images/popup.gif) hier durchlesen. Wenn du nur das Verfahren verstehen willst, gehe am besten gleich zu den Beispielen.
Für deinen Fall helfe ich dir nochmal etwas genauer. Wir betrachten den Bruch einzeln, also:
[mm] \frac{2}{k^{2}-1}.
[/mm]
Dass gilt: [mm] \frac{2}{k^{2}-1}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}, [/mm] kannst du ganz einfach nachrechnen (Hauptnenner und so...).
Jetzt das Verfahren wie man darauf kommt:
Berechne die Nullstellen des Nenners. Das geht hier ganz leicht, weil es eine binomische Formel ist.
Der Ansatz ist dann:
[mm] \frac{2}{k^{2}-1}=\frac{A}{k-1}+\frac{B}{k+1}, [/mm] wobei A und B Konstanten sind. Im Nenner steht hier jeweils eine Nullstelle von [mm] k^{2}-1. [/mm] Bei mehrfachen Nullstellen musst du aufpassen, siehe dazu auch in den Beispielen von wiki nach.
Jetzt bestimme A und B.
Es gilt: [mm] \frac{2}{k^{2}-1}=\frac{A}{k-1}+\frac{B}{k+1}\Leftrightarrow2=A(k+1)+B(k-1)=Ak+A+Bk-B=(A+B)k+(A-B).
[/mm]
Jetzt kommt der Koeffizientenvergleich. Links steht nur [mm] 2=2k^{0}, [/mm] also kein [mm] k\Rightarrow(A+B)k=0\Rightarrow [/mm] A=-B.
Rechts steht als 0-te Potenz von k nur (A-B), also [mm] A-B=2=-B-B=-2B\Rightarrow B=-1\Rightarrow [/mm] A=1.
Damit folgt deine Partialbruchzerlegung.
Gruß Sleeper
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