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Hallo,
meine Frage beschäftigt sich mit der Reihe [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}. [/mm] Die Konvergenz der Reihe soll mit Hilfe der Konvergenz der Folge der Partialsummen gezeigt werden: [mm] $s_n [/mm] = [mm] 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}$. [/mm] Diese werden, um die Beschränktheit zu zeigen, gegen [mm] $1+\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+...+\frac{1}{2^{n-1}}$ [/mm] abgeschätzt. An dieser Stelle werden nun in dem mir vorliegenden Beispiel [mm] $1+\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+...+\frac{1}{2^{n-1}}$ [/mm] und [mm] $1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}$ [/mm] gleich gesetzt.
Leider habe ich im Moment ein Brett vor dem Kopf und habe keine Ahnung, wie ich diese Gleichheit nachvollziehen kann.
Über eine Antwort würde ich mich echt freuen.
Vielen Dank im Voraus,
Adrian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Di 09.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Adrian!
Du kennst doch bestimmt die endliche geometrische Reihe:
[mm] $\sum\limits_{i=0}^{n-1} q^i [/mm] = [mm] \frac{1-q^n}{1-q}$.
[/mm]
Also gilt speziell für $q = [mm] \frac{1}{2}$:
[/mm]
(*) [mm] $\sum\limits_{i=0}^{n-1} \left( \frac{1}{2} \right)^i [/mm] = [mm] \frac{1-\left( \frac{1}{2}\right)^n}{1- \frac{1}{2}} [/mm] = [mm] \frac{1- \frac{1}{2^n}}{1- \frac{1}{2}}$.
[/mm]
Insgesamt folgt nun:
$1 + [mm] \frac{1}{2^0} [/mm] + [mm] \frac{1}{2^1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \frac{1}{2^{n-1}}$
[/mm]
$= 1 + [mm] \sum\limits_{i=0}^{n-1} \frac{1}{2^i}$
[/mm]
$= 1 + [mm] \sum\limits_{i=0}^{n-1} \left( \frac{1}{2} \right)^i [/mm] $
[mm] $\stackrel{(\*)}{=} [/mm] 1 + [mm] \frac{1- \frac{1}{2^n}}{1- \frac{1}{2}}$.
[/mm]
Alles klar? 
Liebe Grüße
Julius
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