Partielle Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Sa 02.02.2013 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=\begin{pmatrix} x \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix} [/mm] |
Hallo Leute,
Ich will zeigen, dass die Funktion in x=1 differenzierbar ist.
Es muss also gelten:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{||f(x)-f(x_0)-A*(x-x_0)||_2}{||x-x_0||_2}=0
[/mm]
Die Matrix ist A, ist die Ableitung in x=1.
[mm] f'(x)=\begin{pmatrix} 1 \\ 2x \\ 3x^2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{||\begin{pmatrix} x \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x-1 \\ x-1 \\ x-1 \end{pmatrix}||_2}{||\begin{pmatrix} x-1 \\ x-1 \\ x-1 \end{pmatrix}||_2}
[/mm]
Das kann doch irgendwie nicht sein oder, ich kann doch [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x-1 \\ x-1 \\ x-1 \end{pmatrix} [/mm] gar nicht multiplizieren, weil es doch eigentlich transponiert sein müsste oder?
Danke schonmal!
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Hallo AntonK,
> [mm]f(x)=\begin{pmatrix} x \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix}[/mm]
> Hallo
> Leute,
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> Ich will zeigen, dass die Funktion in x=1 differenzierbar
> ist.
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> Es muss also gelten:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{||f(x)-f(x_0)-A*(x-x_0)||_2}{||x-x_0||_2}=0[/mm]
>
> Die Matrix ist A, ist die Ableitung in x=1.
>
> [mm]f'(x)=\begin{pmatrix} 1 \\ 2x \\ 3x^2 \end{pmatrix}[/mm]
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch{||\begin{pmatrix} x \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x-1 \\ x-1 \\ x-1 \end{pmatrix}||_2}{||\begin{pmatrix} x-1 \\ x-1 \\ x-1 \end{pmatrix}||_2}[/mm]
>
> Das kann doch irgendwie nicht sein oder, ich kann doch
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x-1 \\ x-1 \\ x-1 \end{pmatrix}[/mm]
> gar nicht multiplizieren, weil es doch eigentlich
> transponiert sein müsste oder?
Du musst berechnen A*(x-1), denn du es ist [mm] f:\IR^1\maptsto\IR^3. [/mm] Dein Punkt ist also gar nicht "vektorwertig", sondern eine normale reelle Zahl.
zu berechnen: [mm] \lim\limits_{x\to 1}\frac{\left|\left|\vektor{x\\x^2\\x^3}-\vektor{1\\1\\1}-\vektor{1\\2\\3}*(x-1)\right|\right|}{||(x-1)||}
[/mm]
>
> Danke schonmal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Sa 02.02.2013 | | Autor: | AntonK |
[mm] \lim\limits_{x\to 1}\frac{\left|\left|\vektor{x\\x^2\\x^3}-\vektor{1\\1\\1}-\vektor{1\\2\\3}\cdot{}(x-1)\right|\right|}{||(x-1)||}= \lim\limits_{x\to 1}\frac{\left|\left|\vektor{x\\x^2\\x^3}-\vektor{1\\1\\1}-\vektor{x-1\\2x-2\\3x-3}\right|\right|}{||(x-1)||}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sqrt{(x^2-2x+1)^2+(x^3-3x+2)^2}}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sqrt{((x-1)(x-1))^2+((x-1)(x^2+x-2))^2}}{x-1}
[/mm]
Naja, belassen wir das mal, ist mir jetzt zuviel Arbeit, man sieht worauf es hinausläuft. Also nochmal zum mitschreiben, wenn ich 2 oder mehr Variablen habe, dann ist der Nenner beispielsweise wirklich ein Vektor, richtig?
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Hallo,
ja, wenn du mehr als zwei Variablen hast, dann hast du im Nenner in der Tat einen Vektor. Und die lineare Abbildung A ist dann auch eine Matrix und nicht nur ein "Vektor". Siehe dazu auch Jaobi-Matrix.
Prüft man den Grenzwert übrigens mal mit Mathematica nach, so erhält man wirklich [mm] \lim\ldots=0.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 Sa 02.02.2013 | | Autor: | AntonK |
Super, dankesehr!
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