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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Sa 30.04.2005 | | Autor: | DaSaver |
Hallo liebes Forum! Gegeben ist folg. Integral: (1. Ableitung der Besselfkt.)
[mm]J_{n}'(x) = -\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi} {\sin (x\sin t-nt)\sin t dt}[/mm]
Davon soll ich irgendwie mit Hilfe partieller Integration einen geschlossenen Ausdruck für [mm]J_{n}'[/mm] bestimmen. Aber irgdnwie klappts nicht so richtig. :-( Könnte mir einer dabei helfen??
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Hallo,
> [mm]J_{n}'(x) = -\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi} {\sin (x\sin t-nt)\sin t dt}[/mm]
das ist wohl die 1. Ableitung der Besselfunktion nach x.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Sa 30.04.2005 | | Autor: | DaSaver |
Ok, aber wie integriere ich das nun nach t ??? In der Aufgabenstellung steht als Hinweis partielle Integration...
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Hallo,
> Ok, aber wie integriere ich das nun nach t ??? In der
> Aufgabenstellung steht als Hinweis partielle Integration...
im Moment fällt mir auch nichts dazu ein.
Falls da nach x integriert werden soll ist die Stammfunktion einfach.
Gruß
MathePower
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Hallo,
> Ok, aber wie integriere ich das nun nach t ??? In der
> Aufgabenstellung steht als Hinweis partielle Integration...
was mir einfällt ist:
[mm]
\begin{gathered}
\int {\sin \left( {x\;\sin \;t\; - \;n\;t} \right)\;\sin \;t\;dt} \; = \;\int {\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{( - 1)^k }}
{{\left( {2k\; + \;1} \right)!}}\;\left( {x\;\sin \;t\; - \;n\;t} \right)^{2k\; + \;1} } } \right)} \;\sin \;t\;dt \hfill \\
= \;\int {\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{( - 1)^k }}
{{\left( {2k\; + \;1} \right)!}}\;\sum\limits_{l = 0}^{2k + 1} {\left( {\begin{array}{*{20}c}
{2k\; + \;1} \\
l \\
\end{array} } \right)\;x^l \;\sin ^l \;t\;\left( { - 1} \right)^{2k\; + \;1\; - \;l} n^{2k\; + \;1\; - \;l} \;t^{2k\; + \;1\; - \;l} } } } \right)} \;\sin \;t\;dt \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Und dann das Integral [mm]\int {{\text{t}}^{{\text{2k}}\;{\text{ + }}\;{\text{1}}\;{\text{ - }}\;{\text{l}}} \;\sin ^{l\; + \;1} \;t\;dt} [/mm]
partiell integrieren.
Gruß
MathePower
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Es gibt eine Darstellung von [mm] $j_n'$ [/mm] , die ohne Ableitungen auskommt. Dabei lässt sich [mm] $j_n'$ [/mm] durch andere Besselfunktionen darstellen. Das lässt sich z.B. durch partielle Integration zeigen. Reihenentwicklungen kannst du sicher auch benutzen, das ist aber Overkill.
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