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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 So 13.06.2010 | | Autor: | Sanny |
Hallo,
ich versuche gerade die Partielle Integration zu verstehen.
Ich habe zum Beispiel die Aufgabe: [mm] \integral{sin x* cos^n x dx}
[/mm]
Da habe ich nun die Formel der part. I. für unbestimmte Integrale angewendet und bin auf folgendes gekommen:
= sinx * [mm] \bruch{cos^{n+1}x}{n+1} [/mm] - [mm] \integral{\bruch{cos^{n+1}x}{n+1}* cos x}
[/mm]
Muss ich nun den Teil hinter dem Integralzeichen nochmal hochleiten???nd wenn ja... was ist die Stammfunktion von [mm] \bruch{cos^{n+1}x}{n+1} [/mm] ????
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 So 13.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich versuche gerade die Partielle Integration zu
> verstehen.
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> Ich habe zum Beispiel die Aufgabe: [mm]\integral{sin x* cos^n x dx}[/mm]
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> Da habe ich nun die Formel der part. I. für unbestimmte
> Integrale angewendet und bin auf folgendes gekommen:
>
> = sinx * [mm]\bruch{cos^{n+1}x}{n+1}[/mm] -
> [mm]\integral{\bruch{cos^{n+1}x}{n+1}* cos x}[/mm]
>
> Muss ich nun den Teil hinter dem Integralzeichen nochmal
> hochleiten???
Wörter wie "hochleiten" oder "aufleiten" sind eigentlich nichts, was in der mathematischen Sprache vorkommt. (Zumindest sind sie mir noch nie begegnet, und ich weiß auch, dass vielen die Haare zu Berge stehen, wenn sie so etwas hören. Auch in Wiki wird das erwähnt.)
Benutze lieber so etwas wie "integrieren", "Stammfunktion" etc.
> nd wenn ja... was ist die eine Stammfunktion von
Es gibt sicher sehr viele Stammfunktionen, aber je zwei davon werden sich nur um eine additive Konstante (genauer: additiv konstante Funktion) unterscheiden. Es sei denn, man identifiziert die Klasse der Stammfunktionen einer Funktion stets mithilfe (irgendeines) Repräsentanten dieser Klasse.
> [mm]\bruch{cos^{n+1}x}{n+1}[/mm] ????
>
> Liebe Grüße
Aber zurück zur Aufgabe:
Wenn Du wirklich [mm] $\int\frac{1}{n+1}\cos^{n+1}(x)dx=\frac{1}{n+1}\int \cos^{n+1}(x)dx$ [/mm] berechnen müsstest, würde ich Dir vorschlagen, mal hierEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
weiterzulesen.
Allerdings hast Du Dich bei der partiellen Integration verrechnet:
Mit
$$\integral{\underbrace{sin x}_{=u(x)}* \underbrace{cos^n x}_{=v'(x)} dx}$$
ist $v(x)=\frac{1}{n+1}}\cos^{n+1}x$ keine Stammfunktion von $v'\,.$ Denn leite einfach mal $w(x)=\frac{1}{n+1}\cos^{n+1}x$ nach der Kettenregel ab und Du erhältst:
$$w'(x)=\cos^{n}x*\cos'(x)=-\sin x \cos^n x\,.$$
(Witzigerweise müßtest Du nun eigentlich schon sehen, dass $-w(x)=\integral{sin x* cos^n x dx}$ ist. Aber ich denke mal, dass es Dir hier im wesentlichen darum geht, wie man $\integral{sin x* cos^n x dx}$ auf direktem Wege auch berechnen kann.)
Vielleicht kann man oben $u \leftrightarrow u'$ und $v' \leftrightarrow v$ vertauschen, womit Du bei der p.I. dann
$$\blue{\integral}{\underbrace{\blue{\sin x}}_{=u'(x)}* \underbrace{\blue{\cos^n x}}_{=v(x)} \blue{dx}}=-\cos x *\cos^n x-\int (-cos x)*n\cos^{n-1} x (-\sin x)dx\blue{=-\cos^{n+1}x-n*\int \sin x \cos^n xdx}$$
erhältst, und die letzte Gleichung kannst Du dann nach $\int \sin x \cos^n xdx$ auflösen.
Würde man allerdings ein wenig aufmerksamer an die Aufgabe herangehen, so sieht man, dass sich
$$\int \sin x \cos^n x dx=\int \cos^n x *(- \cos'(x))dx=-\int \cos^n x *\cos' xdx$$
schreiben läßt. Und damit sieht man, dass die Substitution $z=z(x):=\cos(x)$ hier nützlich ist:
$$=-\int z^n dz=\ldots$$
Beste Grüße,
Marcel
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