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| Aufgabe | Multiplikation mit a [mm] \in \IF_{11} [/mm] * verursacht eine Permutation von {1,2,...,10} = [mm] \IF_{11} [/mm] *.
Berechnen Sie für alle a [mm] \in \IF_{11} [/mm] * diese Permutation, ihre Zerlegungen in disjunkte Zyklen und ihre Signa. |
Hallo!
Kann mir evtl. jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Habe eine Multiplikationstabelle für [mm] \IF_{11} [/mm] gemacht...und nun?
Ich habe keine Ahnung, wie ich nun weiter vorgehe.
Danke schonmal!
LG, Raingirl87
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Für [mm]a \in {\mathbb{F}_{11}}^{\star}[/mm] betrachte die Permutation [mm]\pi_a[/mm] mit [mm]\pi_a(x) = a \cdot x[/mm] für [mm]x \in {\mathbb{F}_{11}}^{\star}[/mm]. So hat etwa [mm]\pi_3[/mm] die folgende Wertetabelle:
[mm]\pi_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 3 & 6 & 9 & 1 & 4 & 7 & 10 & 2 & 5 & 8 \end{pmatrix}[/mm]
Um die Zykeldarstellung zu finden, beginnt man mit irgendeinem Element, z.B. der 1. Die wird auf die 3 abgebildet, die 3 wird auf die 9 abgebildet, die 9 wird auf die 5 abgebildet, die 5 wird auf die 4 abgebildet, die 4 wird auf die 1 abgebildet. Jetzt schließt sich der erste Zykel:
[mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 9 & 5 & 4 \end{pmatrix}[/mm]
Jetzt nimmt man ein Element, das noch nicht an der Reihe war, z.B. die 2. Die wird auf die 6 abgebildet, die 6 wird auf die 7 abgebildet, die 7 wird auf die 10 abgebildet, die 10 wird auf die 8 abgebildet, die 8 wird auf die 2 abgebildet. Somit schließt sich der zweite Zykel:
[mm]\begin{pmatrix} 2 & 6 & 7 & 10 & 8 \end{pmatrix}[/mm]
Alle Elemente kamen vor. Also ist
[mm]\pi_3 = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 9 & 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 6 & 7 & 10 & 8 \end{pmatrix}[/mm]
die Darstellung von [mm]\pi_3[/mm] als Produkt disjunkter Zykeln. Ein Zykel mit [mm]k[/mm] Elementen hat das Signum [mm](-1)^{k-1}[/mm]. Wegen [mm]k=5[/mm] sind beide Zykeln gerade, damit auch ihr Produkt. Daher ist [mm]\pi_3[/mm] eine gerade Permutation.
Und jetzt die anderen 9 Permutationen analog.
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