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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Sa 21.04.2012 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Stellen Sie die folgenden Permutationen als Produkt von Transpositionen dar und geben Sie das Signum der Permutationen an.
a)
[mm] \sigma_1 [/mm] := [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 3 & 5 & 2 & 6 & 4 & 1 }
[/mm]
b)
[mm] \sigma_2 [/mm] := [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 7 & 4 & 5 & 3 & 6 & 8 & 2 } [/mm] |
hallo zusammen,
also ich hab das mal wie folgt gelöst:
zu a)
[mm] \sigma_1 [/mm] := [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 3 & 5 & 2 & 6 & 4 & 1 } [/mm] = (1,3,2,5,4,6) = (1,6)(1,4)(1,5)(1,2)(1,3)
zu b)
[mm] \sigma_2 [/mm] := [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 7 & 4 & 5 & 3 & 6 & 8 & 2 } [/mm] = (1)(2,7,8)(3,4,5) (6) = (1)(2,8)(2,7)(3,5)(3,4)(6)
erstmal die frage ist das richtig ? und falls ja wie bestimme ich nun das Signum, habs auf wikipedia leider nicht wirklich verstanden.
liebe grüße
meep
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moin meep,
Die Zerlegungen sehen gut aus.
Wenn du das selbst überprüfen möchtest dann setze doch einfach mal die Zahlen $1$ bis $8$ ein und guck, was deine Transpositionen damit machen.
Wenn sie das gleiche machen wie die Ausgangspermutationen bist du fertig, denn zwei Abbildungen sind nach Definition genau dann gleich, wenn sie für alle Elemente aus dem Definitionsbereich den gleichen Wert ergeben.
Für das Signum musst du nun, wo du die Zerlegung bereits hast, einfach die Anzahl der Transpositionen zählen. Ist $k$ diese Anzahl, so ist [mm] $(-1)^k$ [/mm] das Signum.
Dass du damit das Signum erhälst und dass es überhaupt wohldefiniert ist (d.h. egal wie du die Permutation zerlegst, die Anzahl der Transpositionen ist immer gerade oder ungerade - diese Anzahl ist nämlich nicht eindeutig!) das sollte dein Prof entweder schon gezeigt haben oder noch zeigen, du wirst es zumindest sicher irgendwo in deinem Skript finden.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Sa 21.04.2012 | | Autor: | meep |
Vielen lieben dank Schadow, das hat mir geholfen :)
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