Permutationen bestimmen? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es geht um folgende Aufgabe
http://imageshack.us/photo/my-images/13/8hdm.jpg/ |
1.) Alle Permutationen bestimmen.
Ich vermute hoffentlich richtig, dass mit
$ [mm] S_n [/mm] (n > 0) $ allgemein die symmetrische Gruppe von {1, ..., n} gemeint ist. Im vorliegenden Fall mit $ [mm] S_4 [/mm] $ also die Gruppe aller bijektien Abbildungen
$ [mm] \sigma [/mm] : {1, 2, 3, 4} [mm] \to [/mm] {1, 2, 3, 4} $
Die Elemente von [mm] $S_4$ [/mm] werden als Permutationen bezeichnet.
Also:
[mm] $\sigma [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & \sigma(4) \end{bmatrix}$
[/mm]
Für meine Aufgabe darf aber kein Fixelement existieren, d.h. es sieht dann so aus?
[mm] $\sigma [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \sigma(2) & \sigma(3) & \sigma(4) & \sigma(1) \end{bmatrix}$ [/mm] ??
Und die Verknüpfung dieser beiden Permutationen ergibt bei mir die identische Permutation:
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}
[/mm]
..
Vielleicht mag mir ja jemand auf die Sprünge helfen ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Mo 04.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es geht um folgende Aufgabe
> http://imageshack.us/photo/my-images/13/8hdm.jpg/
>
> 1.) Alle Permutationen bestimmen.
>
> Ich vermute hoffentlich richtig, dass mit
> [mm]S_n (n > 0)[/mm] allgemein die symmetrische Gruppe von {1, ...,
> n} gemeint ist. Im vorliegenden Fall mit [mm]S_4[/mm] also die
> Gruppe aller bijektien Abbildungen
> [mm]\sigma : {1, 2, 3, 4} \to {1, 2, 3, 4}[/mm]
Ja
>
> Die Elemente von [mm]S_4[/mm] werden als Permutationen bezeichnet.
>
> Also:
>
> [mm]\sigma = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & \sigma(4) \end{bmatrix}[/mm]
>
>
> Für meine Aufgabe darf aber kein Fixelement existieren,
> d.h. es sieht dann so aus?
>
> [mm]\sigma = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \sigma(2) & \sigma(3) & \sigma(4) & \sigma(1) \end{bmatrix}[/mm]
> ??
>
Da hast Du etwas nicht richtig verstanden !
[mm] \sigma [/mm] besitzt kein Fixelement [mm] \gdw \sigma(j) \ne [/mm] j für j=1,2,3,4.
FRED
> Und die Verknüpfung dieser beiden Permutationen ergibt bei
> mir die identische Permutation:
> [mm]\sigma[/mm] = [mm]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}[/mm]
>
> ..
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> Vielleicht mag mir ja jemand auf die Sprünge helfen ;)
>
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Hmm..
Da ja auch [mm] $\sigma [/mm] * [mm] \sigma [/mm] = id$ erfüllt sein soll heißt das also dass
$ [mm] \sigma [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \sigma(2) & \sigma(1) & \sigma(3) & \sigma(4) \end{bmatrix} [/mm] $
und
$ [mm] \sigma [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \sigma(4) & \sigma(3) & \sigma(2) & \sigma(1) \end{bmatrix} [/mm] $
und
$ [mm] \sigma [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \sigma(4) & \sigma(3) & \sigma(2) & \sigma(1) \end{bmatrix} [/mm] $ $
korrekt sind?
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So ein Quatsch!
$ [mm] \sigma [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \sigma(2) & \sigma(1) & \sigma(4) & \sigma(3) \end{bmatrix} [/mm] $
und
$ [mm] \sigma [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \sigma(4) & \sigma(3) & \sigma(2) & \sigma(1) \end{bmatrix} [/mm] $
und
$ [mm] \sigma [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \sigma(3) & \sigma(4) & \sigma(1) & \sigma(2) \end{bmatrix} [/mm] $
Wie ich einer Darstellung der Klein-Vierer-Gruppe entnehmen ist
V = { (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}.
Damit sollte das jetzt oben gepostete stimmen.
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Ich habe also die richtigen 3 Permutationen gefunden. Diese bilden nun anscheinend mit der Identität eine Gruppe..
Beweis:
1.) Neutrales Element id
$(1,2)(3,4) [mm] \circ [/mm] id = (1,2)(3,4)$
$(1,3)(2,4) [mm] \circ [/mm] id = (1,3)(2,4)$
$(1,4)(2,3) [mm] \circ [/mm] id = (1,4)(2,3)$
$ id [mm] \circ [/mm] id = id$
2.) Inverses Element
War ja die Voraussetzung für die obigen Permutationen, oder?
Also
$ [mm] \sigma \circ \sigma [/mm] = id$
jede Permutation ist ihr eigenes Inverses.
3.) Assoziativität
Wie mache ich das denn? =/
4.) Kommutativität..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 06.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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